Giải bài tập Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Câu 1: Trang 59 – SGK hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì

a) Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng quy ;

b) Ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc song song hặc đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta được hình sau:

Giải bài tập Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

a) Ta có:

PQ = (ABC) ∩ (PQRS)

RS = (PQRS) ∩ (ACD)

AC = (ABC) ∩ (ACD)

=> 3 mặt phẳng (ABC) ; (PQRS) ; (ACD) đôi một cắt nhau.

=> PQ,RS,AC đồng qui hoặc PQ // RS // AC.

b) Chứng minh tương tự câu a

Chứng minh tương tự ta được ba đường thẳng PS, RQ, và BD hoặc song song hoặc đồng quy.

**********************

Câu 2: Trang 59 – SGK hình học 11

Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.

a) PR song song với AC

b) PR cắt AC

Hướng dẫn giải:

a)

Giải bài tập Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

 

Nếu PR // AC thì ( PRQ) ∩ (ACD) = QS // CA ( S ∈ AD)

b)

Giải bài tập Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Nếu PR ∩ AC = I thì trong (ACD) kéo dài IQ cắt AD tại S

 

*********************

Câu 3: Trang 60 – SGK hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung đểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN

a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N

c) Chứng minh GA = 3 GA’

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

a) Trong mặt phẳng (ABN), gọi A’ = AG ∩ BN, ta có:

mà BN lại thuộc mặt phẳng (BCD)

=> A’ = AG ∩ (BCD)

b) *Chứng minh thẳng hàng 

Từ M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’.

Mx ⊂ (ABN) và Mx ∩ BN = M’

=>M’ thuộc BN

=> B, M’,A’ thẳng hàng (đpcm)

*Chứng minh BM’ = M’A’ = A’N

MM’ là đường trung bình của tam giác ABA’ nên BM’ = M’A’ (1)

GA’ là đường trung bình của tam giác MM’N nên M’A’ = A’N (2)

=> $\frac{A’B}{BN} = \frac{2}{3}$

BN là đường trung tuyến và $\frac{A’B}{BN} = \frac{2}{3}$

=> A’ là trọng tâm tam giác ∆BCD

=>BM’ = M’A’ = A’N (đpcm)

c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:

∆ MM’N :2GA’=MM’

∆ BAA’:2 MM’=AA’

=>GA=3GA’.

Leave a Reply