Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Toán 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp - Toán 11

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a,b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\)và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ: \(2\sin x – 1 = 0\,;\,\,\,c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;\,\,\,3\tan x – 1 = 0;\,\,\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

a) Dạng phương trình

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)

b) Cách giải

Đặt:

\(t = \sin x{\rm{   (  – 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)

\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{   ( – 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)

c) Chú ý

  • Nếu a là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = \(\alpha  + \)kp thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).
  • Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) \(\ne\) 0 và cosQ(x) \(\ne\) 0.

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Dạng phương trình

\(a\sin x + b\cos x = c{\rm{  (1)}}\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Cách giải

  • Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành:

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x – \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

  • Cách 2:

· Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không

· Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình trở thành:

\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0{\rm{  (2)}}\)

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

  • Cách 3:

Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha  = \frac{b}{a}\)   \(\left( { – \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\)

\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha  \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)

Đặt \(\sin \varphi  = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).

Bài tập minh họa

Ví dụ: 1

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin x – 1 = 0\,.\)

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)

c) \(3\tan x – 1 = 0.\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)

e) \(2\cos x – \sin 2x = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2\sin x – 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(3\tan x – 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)

 

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

e) \(\cos x – \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x – 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 2\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 – 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x – 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ – 3 – \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x – 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x – 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x – 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x – 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

*) Giải phương trình: \(3\cos 2x – 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x – 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)  (*)

(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t – \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),

\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x =  – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành:  \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} – \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t – 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} – 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)

(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  – 1} \right)\cos 2x = 3 – \sqrt 2 \)

Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2  – 1} \right)^2} \ge {\left( {3 – \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt 2  \ge 11 – 6\sqrt 2 \) (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Leave a Reply