Bài 1: Hàm số lượng giác – Toán 11

1. Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

Xét hàm số \(y = \sin x\)

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • Tập giá trị: \([-1;1].\)
  • Hàm số tuần hòa với chu kì \(2\pi \).
  • Sự biến thiên:
    • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
    • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
    • Đồ thị là một đường hình sin.
    • Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

Bài 1: Hàm số lượng giác - Toán 11

b) Hàm số cosin

Xét hàm số \(y = \cos x\)

  • Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
  • Tập giá trị: \([-1;1].\)
  • Hàm số tuần hòa với chu kì: \(2\pi \)
  • Sự biến thiên:
    • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
    • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
    • Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
    • Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)​:

Bài 1: Hàm số lượng giác - Toán 11

2. Hàm số tan và hàm số cot

a) Hàm số \(y = \tan x\)

  • Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\)
  • Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ – \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
  • Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)​
    • Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):

Bài 1: Hàm số lượng giác - Toán 11

b) Hàm số \(y = \cot x\)

  • Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\)
  • Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
  • Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)
    • Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)​:

Bài 1: Hàm số lượng giác - Toán 11

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)

b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} – 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} – k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)

Lời giải:

a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow – 3 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)

\(\Rightarrow – 2 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.

b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)

\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow – 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} – 5 \le \sqrt 2 – 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Ví dụ 3:

Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:

a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

b) \(y = 2\cos 2x\)

c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Lời giải:

Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:

  • Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
  • Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
  • Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
  • Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)

Leave a Reply