Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Kiến thức cần nắm

1. Giá trị lượng giác của một góc

Với mỗi góc \(\alpha(0^o\leq \alpha\leq 180^o)\), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{MOx}=\alpha\). Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:

Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(sin\alpha\)

Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cos\alpha\).

Tỉ số  \(\frac{y}{x}\) \((x\neq 0)\) được gọi là tan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(tan\alpha\)

Tỉ số  \(\frac{x}{y}\) \((y\neq 0)\) được gọi là côtan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cot\alpha\)

2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức

\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x’;y’)\). Khi đó:

\(\vec{a}.\vec{b}=xx’+yy’\)

\(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx’+yy’}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x’^2+y’^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)

\(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx’+yy’=0\)

3. Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:

\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)

Từ đó, ta có hệ quả sau:

\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

4. Định lí sin

\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)

\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)

5. Công thức trung tuyến của tam giác

\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Và tương tự vậy…

6. Công thức tính diện tích tam giác mở rộng

\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)

\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)

\(S=\frac{abc}{4R}\)

\(S=pr\)

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

Bài tập minh họa

Bài tập trọng tâm

 

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oij, cho A(2;3), B(4;1). Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.

Hướng dẫn:

Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bằng định lí Pytago, ta dễ dàng tính được \(OA=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

\(OB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\)

\(AB=2\sqrt{2}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là:

\(P=AB+AC+BC=\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}\approx 10,56\)

Khi có 3 cạnh của tam giác ABC, ta nghĩ ngay đến công thức tính diện tích tam giác bằng Hê rông.

Cụ thể là: Gọi p là nửa chu vi của tam giác

\(p=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}}{2}\)

Khi đó, diện tích tam giác bằng:

\(S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=5\)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho đúng thứ tự C, D, E, B và chia góc A thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ADE.

Hướng dẫn:

Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Ta có hình vẽ sau:

Dễ thấy rằng \(\widehat{BAC}\) được chia thành ba góc bằng nhau nên \(\widehat{DAE}=\frac{90^o}{3}=30^o\)

Xét hai tam giác CAD và BAE có:

\(\left\{\begin{matrix} AB=AC=a\\ \widehat{CAD}=\widehat{EAB}=30^o\\ \widehat{ACD}=\widehat{ABE}=45^o \end{matrix}\right.\)

Vậy, \(\Delta CAD=\Delta BAE(g.c.g)\)

\(\Rightarrow AD=AE\)

\(\Rightarrow \Delta ADE\) cân tại A.

\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-30^o}{2}=75^o\)

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ lớn các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 13, 16 và G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tính độ lớn của đoạn AG.

Hướng dẫn:

Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến từ đỉnh A trong tam giác ABC, ta có:

\(AD=\sqrt{\frac{13^2+16^2}{2}-\frac{10^2}{4}}=\frac{5\sqrt{30}}{2}\)

Mặc khác, theo tính chất trọng tâm, ta có:

\(AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{5\sqrt{30}}{2}=\frac{5\sqrt{30}}{3}\)

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và diện tích S. Nếu tăng a lên 2 lần, tăng b lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích mới sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó, hãy chia tỷ lệ tam giác mới bằng đúng bấy nhiêu lần diện tích tam giác cũ, nêu rõ cách chia.

Hướng dẫn:

Ta có, diện tích S của tam giác ABC được tính bởi công thức:

\(S=\frac{1}{2}absinC\)

Mà giá trị của góc C không thay đổi

Nên khi a tăng 2 lần, b tăng 3 lần, ta nhận được tam giác mới có diện tích bằng 6 lần diện tích của tam giác ban đầu.

Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Gọi tam giác được tăng lên theo kích thước mới là tam giác EFC.

Theo đề, ta có: BF=BC

AC=AD=DE

Cách chia như sau:

Nối A với F ta có được \(dt_{ABF}=S\)

Nối F với D, ta dễ thấy rằng \(dt_{EDF}=dt_{ADF}=2S\)

Gọi G là trung điểm của DF

\(\Rightarrow dt_{EGF}=dt_{EDG}=dt_{AGF}=dt_{ADG}=S\)

Vậy ta có 6 tam giác có diện tích bằng nhau là các tam giác nhỏ như trên hình.

Leave a Reply