Giải bài tập Ôn tập chương III Phương trình, hệ phương trình – đại số 10

Câu 1 (Trang 70 SGK)

Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương ? Cho ví dụ.

Hướng dẫn giải:

Hai phương trình được coi là tương đương <=> Có cùng tập nghiệm.

Ví dụ minh họa:

$x^{2} – 3x + 2 = 0$

$(x – 1)(x – 2)(x^{2} + x + 1) = 0$

Trên là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là {1, 2}.

=================

Câu 2 (Trang 70 SGK)

Thế nào là phương trình hệ quả ? Cho ví dụ.

Hướng dẫn giải:

Nếu mọi nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$ đều là nghiệm của phương trình $f_{1}(x)=g_{1}(x)$

=> $f_{1}(x)=g_{1}(x)$ là phương trình hệ quả của phương trình $f(x)=g(x)$.

Ký hiệu:

$f(x)=g(x) => f_{1}(x)=g_{1}(x)$

Ví dụ minh họa:

Phương trình $x^{2} – x – 2 = 0$ có tập nghiệm là $S_{1} = {-1; 2}$

Phương trình $x + 1 = 0$ có tập nghiệm là $S_{2} = {-1}$.

Ta có: $S_{2} ⊂ S_{1}$

=> $x^{2} – x – 2 = 0$ là phương trình hệ quả của phương trình $x + 1 = 0$.

==================

Câu 3 (Trang 70 SGK)

Giải các phương trình:

a) $\sqrt{x-5}+x=\sqrt{x-5}+6$

b) $\sqrt{1-x}+x=\sqrt{x-1}+2$

c) $\frac{x^{2}}{\sqrt{x-2}}=\frac{8}{\sqrt{x-2}}$

d) $3+\sqrt{2-x}=4x^{2}-x+\sqrt{x-3}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{x-5}+x=\sqrt{x-5}+6$

Đk: $x\geq 5$

<=> $x=6$  (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm $x=6$.

b) $\sqrt{1-x}+x=\sqrt{x-1}+2$

Đk: $\left\{\begin{matrix}x\leq 1 & \\ x\geq 1 & \end{matrix}\right.=> x=1$

Thay $x = 1$ vào phương trình ta được: $0 + 1 = 0 + 2 <=> 1 = 2$ (vô lý)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\frac{x^{2}}{\sqrt{x-2}}=\frac{8}{\sqrt{x-2}}$

Đk: $x\geq 2$

<=> $x^{2}=8$

<=> $x=2\sqrt{2}$  (t/m) và $x=-2\sqrt{2}$  (loại)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2\sqrt{2}$.

d) $3+\sqrt{2-x}=4x^{2}-x+\sqrt{x-3}$

Đk: $\left\{\begin{matrix}x\leq 2 & \\ x\geq 3 & \end{matrix}\right.=> x\in \oslash $

=> không có giá trị x nào để phương trình xác định.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

==================

Câu 4 (Trang 70 SGK)

Giải các phương trình:

a) $\frac{3x+4}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x^{2}-4}+3$

b) $\frac{3x^{2}-2x+3}{2x-1}=\frac{3x-5}{2}$

c) $\sqrt{x^{2}-4}=x-1$

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{3x+4}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x^{2}-4}+3$

Đk: $x\neq \pm 2$

<=> $(3x + 4)(x + 2) – (x – 2) = 4 + 3(x^{2} – 4)$

<=> $^{2} + 6x + 4x + 8 – x + 2 = 4 + 3x^{2} – 12$

<=> $9x + 10 = -8 ⇔ 9x = -18$

<=> $x = -2$ (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $\frac{3x^{2}-2x+3}{2x-1}=\frac{3x-5}{2}$

Đk : $x\neq \frac{1}{2}$

<=> $2(3x^{2} – 2x + 3) = (2x – 1)(3x – 5)$

<=> $6x^{2} – 4x + 6 = 6x^{2} – 10x – 3x + 5$

<=> $9x = -1$

<=> $x = -\frac{1}{9}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = -\frac{1}{9}$.

c) $\sqrt{x^{2}-4}=x-1$

Đk: $x\geq 2$

<=> $x^{2} – 4 = (x – 1)^{2}$

<=> $x^{2} – 4 = x^{2} – 2x + 1$

<=> $ 2x = 5$

<=> $x=\frac{5}{2}$ (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5}{2}$.

==================

Câu 5 (Trang 70 SGK)

Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix}-2x+5y=9 & \\ 4x+2y=11 & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}3x+4y=12 & \\ 5x-2y=7 & \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}2x-3y=5 & \\ 3x+2y=8 & \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}5x+3y=15 & \\ 4x-5y=6 & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{\begin{matrix}-2x+5y=9 & \\ 4x+2y=11 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}-4x+10y=18 & \\ 4x+2y=11 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}12y=29 & \\ 4x+2y=11 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}y=\frac{29}{12} & \\ x=\frac{37}{24} & \end{matrix}\right.$

Vậy $\left\{\begin{matrix} x=\frac{37}{24} & \\ y=\frac{29}{12}& \end{matrix}\right.$.

b) $\left\{\begin{matrix}3x+4y=12 & \\ 5x-2y=7 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}3x+4y=12 & \\ 10x-4y=14 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}3x+4y=12 & \\ 13x=26 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=\frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$

Vậy $\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=\frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}2x-3y=5 & \\ 3x+2y=8 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}4x-6y=10 & \\ 9x+6y=24 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}4x-6y=10 & \\ 13x=34 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}y=\frac{1}{13} & \\ x=\frac{34}{13} & \end{matrix}\right.$

Vậy $\left\{\begin{matrix}x=\frac{34}{13}& \\  y=\frac{1}{13} & \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}5x+3y=15 & \\ 4x-5y=6 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}25x+15y=75 & \\ 12x-15y=18 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}37x=93 & \\ 12x-15y=18 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=\frac{93}{37} & \\ y=\frac{30}{37} & \end{matrix}\right.$

Vậy $\left\{\begin{matrix}x=\frac{93}{37} & \\ y=\frac{30}{37} & \end{matrix}\right.$

=============

Câu 6 (Trang 70 SGK)

Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được $\frac{5}{9}$ bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại $\frac{1}{18}$ bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường ?

Hướng dẫn giải:

Gọi $t_{1}$ (giờ) là thời gian người thứ nhất sơn xong bức tường

$t_{2}$ (giờ) thời gian người thứ hai sơn xong bức tường. ( $t_{1} > 0; t_{2}> 0$)

Một giờ: Người thứ nhất sơn được: $\frac{1}{t_{1}}$ bức tường

Người thứ hai sơn được: $\frac{1}{t_{2}}$ bức tường

=> $\frac{7}{t_{1}}+\frac{4}{t_{2}}=\frac{5}{9}$   (1)

Mặt khác,sau 4 giờ làm việc chung họ sơn được : $\frac{4}{9}-\frac{1}{18}=\frac{7}{18}$ bức tường

=> $\frac{4}{t_{1}}+\frac{4}{t_{2}}=\frac{7}{18}$   (2)

Từ (1), (2) => ta có hệ sau: $\left\{\begin{matrix}\frac{7}{t_{1}}+\frac{4}{t_{2}}=\frac{5}{9} & \\ \frac{4}{t_{1}}+\frac{4}{t_{2}}=\frac{7}{18} & \end{matrix}\right.$

Đặt $x=\frac{1}{t_{1}}  ; y=\frac{1}{t_{2}}$

=> Hệ <=> $\left\{\begin{matrix} 7x+4y= \frac{5}{9} & \\ 4x+4y=\frac{7}{18} & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{18} & \\ y=\frac{1}{24} & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}t_{1}=18 & \\ t_{2}=24 & \end{matrix}\right.$

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất sơn xong bức tường sau 18 giờ

Người thứ hai sơn xong bức tường sau 24 giờ.

================

Câu 7 (Trang 70 – 71 SGK)

Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix}2x-3y+z=-7 &  & \\ -4x+5y+3z=6 &  & \\ x+2y-2z=5 &  & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ -2x+3y+z=-6 &  & \\ 3x+8y-z=12 &  & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{\begin{matrix}2x-3y+z=-7 &  & \\ -4x+5y+3z=6 &  & \\ x+2y-2z=5 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ 10x-14y+z=-27&  & \\ 5x-4y-z=-9 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ 10x-14y+z=-27&  & \\ 10x-8y-2z=-18 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ 6y=9 &  & \\ 10x-8y-2z=-18 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=0,6 &  & \\ y=1,5 &  & \\ z=-1,3 &  & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ trên có nghiệm $\left\{\begin{matrix}x=0,6 &  & \\ y=1,5 &  & \\ z=-1,3 &  & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ -2x+3y+z=-6 &  & \\ 3x+8y-z=12 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ -3x+10y=-11 &  & \\ -5x-12y=-23 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ -15x+50y=-55 &  & \\ -15x-36y=-69 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=1 &  & \\ -15x+50y=-55 &  & \\ 86y=14 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=4,2 &  & \\ y=0,16 &  & \\ z=1,92 &  & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ trên có nghiệm $\left\{\begin{matrix}x=4,2 &  & \\ y=0,16 &  & \\ z=1,92 &  & \end{matrix}\right.$

===============

Câu 8 (Trang 71 SGK)

Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó là 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.

Hướng dẫn giải:

Ta gọi $x, y, z$ theo thứ tự theo lần lượt là mẫu số các phân số thứ nhất, thứ hai và thứ ba. ( $x, y, z ≠ 0 ; x, y, z  ∈ R$).

Theo bài ra, ta có: $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 &  & \\ \frac{1}{x} -\frac{1}{y}=\frac{1}{z} &  & \\ \frac{1}{x} +\frac{1}{y}=5\frac{1}{z} &  &\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 &  & \\ \frac{2}{x} =\frac{6}{z} &  & \\ \frac{2}{y} =\frac{4}{z} &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} =\frac{1}{2} &  & \\ \frac{1}{y} =\frac{1}{3} &  & \\ \frac{1}{z} =\frac{1}{6} &  & \end{matrix}\right.$

Vậy ba phân số cần tìm là $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} =\frac{1}{2} &  & \\ \frac{1}{y} =\frac{1}{3} &  & \\ \frac{1}{z} =\frac{1}{6} &  & \end{matrix}\right.$

===============

Câu 9 (Trang 71 SGK)

Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức trên, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số sản phẩm sản xuất trong một ngày theo định mức. (x nguyên dương ).

Theo đề ra, ta có phương trình: $\frac{360}{x}=\frac{360+\frac{360.5}{100}}{x+9}+1$

<=> $x^{2} + 27x – 3240 = 0$

<=> $x_{1}= -72$ (loại), $x_{2} = 45$.  (t/m)

Thời gian giao hoàn thành kế hoạch là = 8 ngày

=> Số sản phẩm làm được là (45+9).8=432 sản phẩm.

==================

Câu 10 (Trang 71 SGK)

Giải các phương trình bằng máy tính.

a) $5x^{2} – 3x – 7 = 0$

b) $3x^{2} + 4x + 1 = 0$

c) $0,2x^{2} + 1,2x – 1 = 0$

d) $\sqrt{2}x^{2}+5x+\sqrt{8}=0$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng máy tính bỏ túi thực hiện giải các phương trình trên, ta được kết quả:

a) $5x^{2} – 3x – 7 = 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}x_{1}=1,520 & \\ x_{2}=-0,920 & \end{matrix}\right.$

b) $3x^{2} + 4x + 1 = 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}x_{1}=-0,33 & \\ x_{2}=-1 & \end{matrix}\right.$

c) $0,2x^{2} + 1,2x – 1 = 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}x_{1}=-0,7416 & \\ x_{2}=-6,7416 & \end{matrix}\right.$

d) $\sqrt{2}x^{2}+5x+\sqrt{8}=0$

<=> $\left\{\begin{matrix}x_{1}=-0,71 & \\ x_{2}=-2,83 & \end{matrix}\right.$

===============

Câu 11 (Trang 71 SGK)

Giải các phương trình

a) $|4x-9| = 3 -2x$

b) $|2x+1| = |3x+5|$

Hướng dẫn giải:

a) $|4x-9| = 3 -2x$

Đk: $x\leq \frac{3}{2}$

<=> $(4x – 9)^{2}= (3-2x)^{2}$

<=> $(4x – 9 + 3 -2x)(4x – 9 – 3 + 2x) = 0$

<=> $x = 3$ (loại); $x = 2$ (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $|2x+1| = |3x+5|$

<=> $(2x + 1)^{2} = (3x + 5)^{2}$

<=> $(2x + 1 + 3x + 5)(2x + 1 – 3x – 5) = 0$

<=> $x_{1} = -1,2 ; x_{2} = -4$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\left\{\begin{matrix}x_{1}=-1,2 & \\ x_{2}=-4 & \end{matrix}\right.$

===================

Câu 12 (Trang 71 SGK)

Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp.

a) Chu vi 94,4m và diện tích là $494,55m^{2}$.

b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là $1089m^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi hai cạnh của mảnh vườn theo thứ tự là x, y.

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{94,4}{2} & \\ x.y = 494,55 & \end{matrix}\right.$

Theo định lí Vi-ét => x, y là các nghiệm của phương trình: $x^{2}- 47,2x + 494,55 = 0$

=> Chiều rộng là 15,7m.

Chiều dài là 31,5m.

b) Ta có: $\left\{\begin{matrix} x-y=12,1 & \\ x.(-y) = -1089 & \end{matrix}\right.$

=> x và (–y) là các nghiệm của phương trình: $x^{2}– 12,1x – 1089 = 0$

=> Chiều rộng là 27,5m.

Chiều dài là 39,6m.

==================

Câu 13 (Trang 71 SGK)

Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi em quét sân một mình thì hết mấy giờ?

Hướng dẫn giải:

Gọi x giờ là thời gian quét một mình hết sân của người thứ nhất.

=> Thời gian quét một mình của người thứ hai là: $x – 2$ (giờ ). ( $x>2$).

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{4}$

<=> $x_{1} =4$ ( nhận);  $x_{2}=\frac{2}{3}$ (loại)

Vậy thời gian để quét một mình xong sân của người thứ nhất là 4 giờ.

Thời gian quét một mình của người thứ hai là: 4 -2 = 2 giờ.

 

Leave a Reply