Giải bài tập SGK Ôn tập chương Vectơ – Hình học 10

Giải bài tập SGK Ôn tập chương Vectơ – Hình học 10

**************

Câu 1 (Trang 27 SGK)

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng vectơ AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Ôn tập chương Vectơ - Hình học 10

Các vectơ bằng vectơ AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác là:

$\overrightarrow{OC};\overrightarrow{FO};\overrightarrow{ED}$

 

Câu 2 (Trang 27 SGK)

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) A. Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$  cùng hướng thì cùng phương.

B. Hai vectơ $\overrightarrow{b};k\overrightarrow{b}$ cùng phương.

C. Hai vectơ $\overrightarrow{a};(-2)\overrightarrow{a}$ cùng hướng.

D. Hai vectưo $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$  ngược hướng với vectơ thứ ba khác $\overrightarrow{0}$ thì cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng lý thuyết kiến thức về tọa độ trong vectơ , ta có:

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.

Câu 3 (Trang 27 SGK)

Tứ giác ABCD là hình gì nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\left | \overrightarrow{AB} \right |=\left | \overrightarrow{BC} \right |$

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

=> $\left\{\begin{matrix}AB=DC & \\ AB//DC & \end{matrix}\right.$

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành.

 

Câu 4 (Trang 27 SGK)

Chứng minh rằng : $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\leq \left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$

Hướng dẫn giải:

TH1: Khi $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương

=> $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$

$\left | \overrightarrow{a}\right |=k \left | \overrightarrow{b} \right |$

=> $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\leq \left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$  (đpcm)

Giải bài tập SGK Ôn tập chương Vectơ - Hình học 10

TH2: Khi $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ không cùng phương

Từ hình vẽ

=>  $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\leq \left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$  (đpcm)

 

Câu 5 (Trang 27 SGK)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

a) $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

b) $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

c) $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}$

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Ôn tập chương Vectơ - Hình học 10

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, và AC của tam giác đều ABC.

a) Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB

=> $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OI}$

Mặt khác: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$

=> $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$  (đpcm)

b) Gọi N là trung điểm của cung nhỏ BC

=> $\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OJ}$

Mặt khác: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OJ}$

=> $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (đpcm)

c) Gọi P là trung điểm của cung nhỏ AC.

=> $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OK}$

Mặt khác: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OK}$

=> $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}$  (đpcm)

 

Câu 6 (Trang 27 SGK)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính:

a) $\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right |$

b) $\left | \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right |$

Hướng dẫn giải:

a) Từ A vẽ đường cao AH, ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=A\frac{\sqrt{3}}{2}$

=> $\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right |=2\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

b) Theo bài ra: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} |$

=  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$

=> $\left | \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right |=\overrightarrow{CB}=a$.

Câu 7 (Trang 28 SGK)

Cho sáu điểm  M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng :

 \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {RS}  = \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {RQ} \)

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SP} \cr
& \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {QS} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = (\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} ) + (\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} ) \cr} \)

Vì \(\overrightarrow {SP}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {QS}  = \overrightarrow {SS}  = \overrightarrow 0 \)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

 

Câu 8 trang 28 SGK Hình học 10

Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số M, N sao cho:

a) \(\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

b) \(\overrightarrow {AN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

c) \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

d) \(\overrightarrow {MB}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

Trả lời: 

Giải bài tập SGK Ôn tập chương Vectơ - Hình học 10

a) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \)

Do đó: \(m = {1 \over 2};n = 0\)

b) Ta có: vì N là trung điểm OB

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = – \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \)

Vậy \(m =  – 1;n = {1 \over 2}\)

c)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = – {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \)

Vậy \(m =  – {1 \over 2},n = {1 \over 2}\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO} \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = – \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = – {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr} \)

Vậy \(m =  – {1 \over 2},n = 1\)

 

Câu 9 trang 28 SGK Hình học 10

Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ bất kì thì:

  \(3\overrightarrow {GG’}  = \overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’} \)                                                      

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {B’G’} \cr
& \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {B’G’} \cr
& \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC’} + \overrightarrow {C’G’} \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {GG’} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} ) + (\overrightarrow {A’G’} + \overrightarrow {B’G’} + \overrightarrow {C’G’} )(1) \cr} \)

G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)   (2)

G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’ nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {G’A’} + \overrightarrow {G’B’} + \overrightarrow {G’C’} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A’G’} + \overrightarrow {B’G’} + \overrightarrow {C’G’} = \overrightarrow 0 \cr} \)

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.

Câu 10 trang 28 SGK Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vecto đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau

b) Vecto \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow i \) nếu a có hoành độ bằng 0

c) Vecto \(\overrightarrow i \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \(\overrightarrow j \)

Trả lời:

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto \(\overrightarrow a \) = (a1, a2) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \)  là vecto \(\overrightarrow b \)= – \(\overrightarrow a \) = (-a1, -a2).

Vậy khẳng định hai vecto đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vecto \(\overrightarrow i \) (1, 0):

Vecto \(\overrightarrow a \) ≠ 0 cùng phương với vecto \(\overrightarrow i \) khi \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow i \) với k ∈ R.

Suy ra: \(\overrightarrow a \)  = (k, 0) với k ≠ 0.

Vậy khẳng định vecto a≠ 0 cùng phương với vecto  nếu  có hoành độ bằng 0 là sai.

c) Trong mặt phẳng Oxy có vecto (0, 1)

Vecto \(\overrightarrow a \)  cùng phương với vecto \(\overrightarrow j \) khi \(\overrightarrow a \)   = k  \(\overrightarrow j \) với k ∈ R.

Suy ra: \(\overrightarrow a \) = (0, k) với k ∈ R.

Vậy khẳng định Vecto \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \(\overrightarrow j \) là đúng.

Câu 11 trang 28 SGK Hình học 10

Cho \(\overrightarrow a (2,1);\overrightarrow b (3, – 4);\overrightarrow c ( – 7,2)\)

a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  – 4\overrightarrow c \)

b) Tìm tọa độ vecto x sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  – \overrightarrow c \)

c) Tìm các số k và h sao cho \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b \)

Trả lời:

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow u = (3.2 + 2.3 – 4.( – 7);3.1 + 2( – 4) – 4.2) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow u = (40, – 13) \cr} \)

b) Gọi tọa độ của x là (m, n). Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow x + \overrightarrow a = (m + 2,n – 1) \cr
& \overrightarrow b – \overrightarrow c = ( – 10,6) \cr} \)

Giải hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m + 2 = 10 \hfill \cr
n + 1 = – 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = 8,n = 7 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow x = (8, – 7) \cr} \)

c) Ta có: \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow c  = (2k + 3h;k – 4)\)

Với  ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
2k + 3h = – 7 \hfill \cr
k – 4h = 2 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình này ta được: k = -2, h = -1

 

Câu 12 trang 28 SGK Hình học 10

Cho:

\(\overrightarrow u  = {1 \over 2}\overrightarrow i  – 5\overrightarrow j ,\overrightarrow v  = \overrightarrow {mi}  – 4\overrightarrow j \)

Tìm m để \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v \)cùng phương.

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i – 5\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow u = ({1 \over 2}; – 5) \cr
& \overrightarrow v = m\overrightarrow i – 4\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow v = (m, – 4) \cr} \)

Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài:

\(\overrightarrow u //\overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{1 \over 2} = km \hfill \cr
– 5 = – 4k \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = {2 \over 5} \hfill \cr
k = {5 \over 4} \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = {2 \over 5}\)

 

Câu 13 trang 28 SGK Hình học 10

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0

b) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.

c) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và C bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của B và D.

Trả lời:

a) Sai vì các điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.

b) Sai. Để P là trung điểm của AB thì phải có:

_ Hoành độ của  P bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.

_ Tung độ của  P bằng trung bình cộng các tung độ của A và B.

Thiếu một trong hai điều trên đây thì P chưa chắc là trung điểm của AB.

c) Đúng.

Vì trong trường hợp này tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Leave a Reply