Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số – Hình học 10

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số – Hình học 10

*************

Bài 1.

Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng:

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AD}\)= 2\(\overrightarrow{AC}\).

Hướng dẫn giải:

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AD}\)= \(\overrightarrow{AB}\)  + \(\overrightarrow{AD}\)+ \(\overrightarrow{AC}\)

ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{AC}\) (quy tắc hình bình hành của tổng)

=>  \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AD}\)=   \(\overrightarrow{AC}\) +\(\overrightarrow{AC}\) =2\(\overrightarrow{AC}\)

 

Câu 2 (Trang 17 SGK)

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ theo hai

vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Vì AK là trung tuyến của ΔABC nên K là trung điểm của BC.

=> $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK}$  (1)

Vì BM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của AC.

=> $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}$   (2)

Từ (1),(2) => $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM})$

<=> $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM})$

<=> $3\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM})$

<=> $3\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$

<=> $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3} (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$

Tương tự: $\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3} \overrightarrow{u}-\frac{4}{3}\overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{CA}=-\frac{2}{3} (2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$

 

Câu 3 (Trang 17 SGK)

Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$.

Hãy phân tích vec tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$

Theo bài ra: $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$

<=> 2$\overrightarrow{BM}=3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$

<=> $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{2} (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$

=> $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

=> $\overrightarrow{AM}= \frac{1}{2}(\overrightarrow{-u}+3\overrightarrow{v})$

 

Câu 4 (Trang 17 SGK)

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM.

Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

b) $2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$

Hướng dẫn giải:

a) Gọi D là trung điểm của AM.

M là trung điểm của BC.

=> $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AD}$  (1)

$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2 \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}$  (2)

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2 \overrightarrow{OM}$   (3)

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{OD}$   (4)

Từ (1),(2) => $2\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{-AM}+ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$  (đpcm )

b) Từ (3),(4) => $2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}=2(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OM})$

<=>  $2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}=2(2 \overrightarrow{OD})=4\overrightarrow{OD}$  (đpcm)

 

Câu 5 (Trang 17 SGK)

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng: $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$

Mặt khác: $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{CN}$

=> $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$

=> $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BD}$

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AD}$

=> $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AD}$  (đpcm)

Câu 6 (Trang 17 SGK)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho: $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra: $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

<=> $3\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$

<=> $\overrightarrow{KB}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{KA}$

=> $\overrightarrow{KB}, \overrightarrow{KA}$ là hai vec tơ ngược hướng.

Vậy K thuộc đoạn thẳng AB sao cho $KB=\frac{3}{2}KA$.

 

Câu 7 (Trang 17 SGK)

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overline{0}$

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Gọi I là trung điểm AB.

=> $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

Gọi J là trung điểm của CI.

=> $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}$

=> $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overline{0}$

<=> $2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

<=> $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

<=> $2\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

<=> $\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

<=> $M\equiv J$

Vậy M là trung điểm của trung tuyến CI.

 

Bài 8 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Giả sử G là trọng tâm của ΔMPR.

Khi đó:

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Kết hợp với (*) suy ra:

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Vậy G cũng đồng thời là trọng tâm của ΔSNQ, nghĩa là hai tam giác MPR và SNQ có cùng trọng tâm.

 

Bài 9 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.

Chứng minh rằng

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Lời giải:

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

Từ M kẻ SP // BC, QK // AB, RH // AC.

Ta có:

ΔMKH đều: MD là đường trung tuyến

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

ΔMPQ đều: ME là đường trung tuyến

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

ΔMRS đều: MF là đường trung tuyến

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

(Vì các tứ giác MHCP, MQAR, MSBK là các hình bình hành)

Vì O là trọng tâm ΔABC nên

Giải bài tập SGK Bài 3: Tích của vectơ với một số - Hình học 10

 

Leave a Reply