Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ – Hình học 10

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ – Hình học 10

********

Câu 1 (Trang 12 SGK)

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho $AM > MB$. Vẽ các vec tơ $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}$.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Hình học 10

Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho: $\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{MB}$

=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}=$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AC}$

<=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$

Tương tự:  $\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+(-\overrightarrow{MB})$

<=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}$.

 

Câu 2 (Trang 12 SGK)

Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Hình học 10

Vì ABCD là hình bình hành => $\overrightarrow{BA} =-\overrightarrow{DC}$

=> $\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})$

<=>$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$

<=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$   (đpcm)

 

 

Câu 3 (Trang 12 SGK)

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có:

a) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a)  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$

= $(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})$

=  $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$  (đpcm)

b)  $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}$

=> $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$  (đpcm)

 

Câu 4 (Trang 12 SGK)

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS.

Chứng minh rằng: $\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Hình học 10

Ta có:  $\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{IB}$

$\overrightarrow{CS} =-\overrightarrow{RA}$

$\overrightarrow{PC} =-\overrightarrow{BQ}$

=> $\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}

=  $(\overrightarrow{RA} +\overrightarrow{AJ})+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ})(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS})$

=  $(\overrightarrow{RA} +\overrightarrow{-IB})+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{-PC})+(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{-RA})$

=  $(\overrightarrow{IB} +\overrightarrow{-IB})+(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{-PC})+(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{-RA})=\overrightarrow{0}$  ( đpcm )

 

 

Câu 5 (Trang 12 SGK)

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Hình học 10

Ta có : $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

=> $\left |\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}  \right |=AC=a$

Kẻ $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BC}$

=> $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Mà ABCD là hình thoi => I là trung điểm BD và vuông tại I.

=> $BI=AB\sin A=a\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> $BD=2BI=a\sqrt{3}$

=> $\left |\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}  \right |=a\sqrt{3}$.

 

Câu 6 (Trang 12 SGK)

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}$

c) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

 

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Hình học 10

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

a) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}$

=  $\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}$

=  $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$  (đpcm)

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$

=  $\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{BC})$

=  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}$

=  $\overrightarrow{DB}$  (đpcm)

c) Ta có : $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$

Mà $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

=> $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$  (đpcm)

d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$

=  $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$

=  $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$  (đpcm)

 

Câu 7 (Trang 12 SGK)

Cho vectơ a, b là hai vectơ khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:

a) $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$

b) $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$

Hướng dẫn giải:

a) Để $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$ xảy ra

<=> $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Để  $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$ xảy ra

<=> $\overrightarrow{a}$ vuông góc với $\overrightarrow{b}$.

 

Câu 8 (Trang 12 SGK)

Cho $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= \overrightarrow{0}$.

So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra: $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= \overrightarrow{0}$

=> $\overrightarrow{a} =-\overrightarrow{b}$

=> Hai vec tơ cùng phương , cùng độ lớn và ngược chiều.

 

Câu 9 (Trang 12 SGK)

Chứng minh rằng : $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Nếu $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$

=> AB // CD

AB = CD

=> ABCD là hình bình hành.

Khi đó AD và BC có trung điểm trùng nhau.

Mặt khác:  Nếu trung điểm AD và BC trùng nhau

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành.

=> $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$  (đpcm )

 

Câu 10 (Trang 12 SGK)

Cho ba lực $\overrightarrow{F_{1}} =\overrightarrow{MA}$ ; $\overrightarrow{F_{2}} =\overrightarrow{MB}$ , $\overrightarrow{F_{3}} =\overrightarrow{BC}$ cùng tác động

vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của hai lực $F_{1}, F_{2}$ đều là 100N và $\widehat{AMB}=60^{\circ}$.

Tìm cường độ và hướng của lực $F_{3}$.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Hình học 10

Theo bài ra: $MA=MB=100N$

$\widehat{AMB}=60^{\circ}$

=> $\triangle AMB$ là tam giác đều.

=> $MH=\frac{MA\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}(N)$

Vì AMBC là hình thoi => MC = 2MH.

=>  $MC = 100\sqrt{3}(N)=F_{3}$

Vậy $F_{3}=100\sqrt{3}(N)$ và có hướng là tia phân giác của $\widehat{AMB}$.

 

 

Leave a Reply