Giải bài tập SGK bài 1 Mệnh đề – Toán 10

Giải bài tập SGK bài 1 Mệnh đề – Toán 10

********************

Bài tập 1 trang 9 SGK Đại số 10

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) \(3 + 2 = 7\);

b) \(4 + x = 3\);

c) \(x + y > 1\);

d) \(2 – \sqrt{5 }< 0\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Câu a:

Câu \(3 + 2 = 7\) là câu sai. Câu này là mệnh đề.

Câu b:

Câu \(4 + x = 3\) là câu đúng khi x = – 1, sai khi x = 0 nên không phải là mệnh đề (Vì vừa đúng lại vừa sai).

Đây là mệnh đề chứa biến.

Câu c:

Câu \(x + y > 1\), đúng khi \(\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2 \end{matrix}\right.\), sai khi \(\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0 \end{matrix}\right.\)

Vậy câu này cũng không phải mệnh đề.

Đây là mệnh đề chứa biến.

Câu d: 

Câu \(2 – \sqrt{5 }< 0\) là câu đúng. Câu này là mệnh đề.

 

Bài tập 2 trang 9 SGK Đại số 10

Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.

a) 1794 chia hết cho 3;

b) \(\sqrt{2}\) là một số hữu tỉ:

c) \(\pi < 3,15\);

d) \(|-125|\leq 0\) .

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

* Xét tính đúng sai:

Câu a:

1794 chia hết cho 3: là mệnh đề đúng vì 1794 : 3 = 598 (nghĩa là: 1794 chia hết cho 3 là câu đúng).

Câu b:

\(\sqrt{2}\) là một số hữu tỷ: là mệnh đề sai, vì \(\sqrt{2}\) là một số vô tỷ.

Câu c:

\(\pi < 3,15:\) là mệnh đề sai vì câu: \(\pi < 3,15\) là câu đúng đã được chứng minh.

Câu d:

\(|-125|\leq 0\): là mệnh đề sai vì \(|-125| = 1,25>0\).

* Lập mệnh đề phủ định:

Câu a:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: P = “1794 chia hết cho 3” là: \(\overline{P}\) = “1794 không chia hết cho 3”.

Vì P đúng nên \(\overline{P}\) sai.

Câu b:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: Q = “\(\sqrt{2}\) là một số hữu tỷ” là: \(\overline{Q}\) = “\(\sqrt{2}\) là một số vô tỷ”.

Câu c:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: S = “\(\pi < 3,15\)” là mệnh đề: \(\overline{S} \ge 3,15\).

Câu d:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \(k=\) là mệnh đề: \(\overline{k}=”\left | -1,25 \right |> 0″\).

Bài tập 3 trang 9 SGK Đại số 10

Cho các mệnh đề kéo theo

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a+b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).

Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.

Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.

b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niện “điều kiện đủ”.

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niện “điều kiện cần”.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

  • Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ nhất là: “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c”.
  • Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ hai là: “Các số chia hết cho 5 đều có tận cùng bằng 0”
  • Mệnh đề đảo của mệnh đề thứ ba là: “Một tam giác có hai trung tuyển bằng nhau thì tam giác ấy cân”.

Câu b:

Sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” thì:

  • Mệnh đề thứ nhất phát biểu là: “Để a + b chia hết cho c, điều kiện đủ là a và b cùng chia hết cho c”
  • Mệnh đề thứ hai phát biểu là: “Để một số chia hết cho 5, điều kiện đủ là chữ số tận cùng của số ấy bằng 0”.
  • Mệnh đề thứ ba phát biểu là: “Để một tam giác hai trung tuyến bằng nhau, điều kiện đủ là tam giác ấy cân”.
  • Mệnh đề thứ tư phát biểu là: “Để hai tam giác có diện tích bằng nhau, điều kiện đủ là hai tam giác ấy bằng nhau”.

Câu c:

Sử dụng khái niệm điều cần thì:

  • Mệnh đề thứ phát biểu là: “Để a và b cùng chia hết cho c, điều kiện cần là số ấy chia hết cho 5”.
  • Mệnh đề thứ hai phát biểu là: “Để một số có tận cùng bằng 0, điều kiện cần là số ấy chia hết cho 5”.
  • Mệnh đề thứ ba phát biểu là: “Để một tam giác cân, đều kiện cần là tam giác ấy có hai trung tuyến bằng nhau”.
  • Mệnh đề thứ tư phát biểu là: “Để hai tam giác bằng nhau, điều kiện cần là chúng có diện tích bằng nhau”.

 

Bài tập 4 trang 9 SGK Đại số 10

Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

Mệnh đề thứ nhất phát biểu là: Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Câu b:

Mệnh đề thứ hai phát biểu là: Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi là tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Câu c:

Mệnh đề thứ ba phát biểu là: Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.

 

Bài tập 5 trang 10 SGK Đại số 10

Dùng kí hiệu \(\forall , \exists\) để viết các mệnh đề sau

a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó;

b) Có một số cộng với chính nó bằng 0;

c) Mọt số cộng vớ số đối của nó đều bằng 0.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

Mệnh đề thứ nhất viết là: \(\forall x \in \mathbb{R}: x.1=x\);

Câu b:

Mệnh đề thứ hai viết là: \(\exists a \in \mathbb{R}: a+a=0\);

Câu c:

Mệnh đề thứ ba viết là: \(\forall x \in \mathbb{R}: x+(-x)=0\).

 

 

Bài tập 6 trang 10 SGK Đại số 10

Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a) \(\forall x \in R: x^2>0\);

b) \(\exists n \in N: n^2=n\);

c) \(\forall n \in N: n \leq 2n\);

d) \(\exists x \in R: x< \frac{1}{x}\).

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

Mệnh đề thứ nhất phát biểu là: Luỹ thừa bậc hai của mọi số thực đều nhận giá trị dương. Đây là mệnh đề sai, vì “02 > 0″ là sai.

Câu b:

Mệnh đề thứ hai phát biểu là: Có ít nhất một số tự nhiên bằng bình phương của nó. Đây là mệnh đề đúng, chẳng hạn: 12=1.

Câu c:

Mệnh đề thứ ba phát biểu là: Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó. Đây là mệnh đề đúng vì bất đẳng thức: \(2n>n\Leftrightarrow n>0\) là đúng với mọi số tự nhiên n.

Câu d:

Mệnh đề thứ tư phát biểu là: Có ít nhất một số thực nhỏ hơn số nghịch đảo của chính nó. Đây là mệnh đề đúng. Chẳng hạn: \(\frac{1}{3}<\frac{1}{\frac{1}{3}}\)

 

Bài tập 7 trang 10 SGK Đại số 10

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai cuả nó.

a) \(\forall n \in N: n\) chia hết cho n;

b) \(\exists x \in Q: x^2=2\);

c) \(\forall x \in R: x< x+1\);

d) \(\exists x \in R: 3x=x^2+1\);

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề thứ nhất là: “\(\exists n \in \mathbb{N} :n\) không chia hết cho n”. Đây là mệnh đề sai, vì nếu n = 0 thì phép chia 0:0 tuy là không xác định nhưng có thể xem: 0:0=1

Câu b: 

Mệnh đề phủ định của mệnh đề thứ hai là: “\(\forall x \in \mathbb{Q} :x^2\neq 2\)” Đây là mệnh đề đúng và là một định lý đã được chứng minh.

Câu c: 

Mệnh đề phủ định của mệnh đề thứ ba là: \(\exists x \in \mathbb{R} :x\geq x+1\)

Đây là mệnh đề sai, vì bất phương trình: \(x\geq x+1\Leftrightarrow 0\geq 1\) vô nghiệm.

Câu d: 

Mệnh đề phủ định của mệnh đề thứ tư là: \(\forall x \in \mathbb{R} :3x \neq x^2+1\)

Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn với:

\(x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì \(3\left (\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )=\left (\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^2+1\) là đúng.

Leave a Reply