Giải bài tập SGK bài 1 đến 6 Ôn tập cuối năm – Đại số 10

Bài 1: trang 159 sgk Đại số 10

Cho hàm số  \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 3x + 4}  – \sqrt { – {x^2} + 8x – 15} \)

a) Tìm tập xác định A của hàm số \(f(x)\)

b) Giả sử \(B = \left\{ {x \in R:4 < x \le \left. 5 \right\}} \right.\)

Hãy xác định các tập hợp \(A\backslash B\)và \(R\backslash (A\backslash B)\)

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định của \(f(x)\) :

\(A = \left \{ x \in \mathbb{R}\,| \,{x^2} + 3x + 4 \ge 0\text { và } – {x^2} + 8x-15 \ge 0 \right \} \)

  • \(x^2+ 3x + 4=0\) có biệt thức \(Δ = 3^2– 16 < 0\)

\(\Rightarrow x^2+3x+4>0, \forall x\in \mathbb{R}\)

  • \(-x^2+ 8x – 15 = 0 ⇔ x_1= 3, x_2= 5\)

Theo quy tắc trong trái ngoài cùng, ta có \(-x^2+8x-15>0\)khi \(A= [3;5]\)

b) Ta có \(A= [3;5]; B=(4;5]\)

\(\Rightarrow A\backslash B = [3; 4]\)

\(R\backslash(A\backslash B) = (-∞; 3) ∪ (4;+∞)\)

=============

Bài 2: trang 160 sgk Đại số 10

Cho phương trình: \(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m≠0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của m để – 1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Hướng dẫn giải:

a) \(\Delta ‘= 1 + m\left( {4m + 1} \right) = 4{m^2} + m + 1 \)

\(= \left ( 2m + {1 \over 4} \right ) + {{15} \over {16}} > 0,\forall m \)

Vậy với \(m ≠ 0\) phương trình là bậc hai có biệt thức chung nên có \(2\) nghiệm phân biệt.

b) \(f( – 1) = m + 2 – 4m – 1 = – 3m + 1 = 0 \)

\(\Rightarrow m = {1 \over 3} \)

Với \(m = {1 \over 3}\)thì phương trình có nghiệm \(x_1= -1\)

Gọi nghiệm kia là \(x_2\).

Theo định lí Vi-et ta có

\({x_1} + {x_2} = {2 \over m} \)

\(\Leftrightarrow -1+x_2= {2 \over {{1 \over 3}}} \)

\(\Leftrightarrow {x_2} = 7\)

===============

Bài 3: trang 160 sak Đại số 10

Cho phương trình:

\({x^2} – 4mx + 9{(m – 1)^2} = 0\)

a) Xem xét với giá trị nào của \(m\)thì phương trình trên có nghiệm.

b) Giả sử \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Hãy tính tổng và tích của chúng.

Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\)không phụ thuộc vào \(m\).

c) Xác định \(m\)để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\).

Hướng dẫn giải:

a) \(Δ’ = 4m^2– 9(m-1) = -5m^2+ 18m – 9 ≥ 0\)

\(\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\)

Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\)

b) Với  \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn

\(x_1+x_2= 4m\) (1)  và   \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\)   (2)

Từ (1)và (2) suy ra:

\({x_1}.{x_2} = 9{({{{x_1} + {x_2}} \over 4} – 1)^2} \Leftrightarrow 9{({x_1} + {x_2} – 4)^2} – 16{x_1}{x_2} = 0\)

Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m\).

c) Ta có:

\(x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m ⇒ x_2= 2(m+1)\)

Thay biểu thức của \(x_2\) vào phương trình thì được:

\(4(m+1)^2 – 8m(m+1) + 9(m-1)^2= 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 5{m^2} – 18m + 13 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m_{_1}} = 1;{m_2} = {{13} \over 5} \cr} \)

Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\) thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\).

===========

Bài 4: trang 160 sgk Đại số 10

Chứng minh các bất đẳng thức:

a) \(5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)\), biết \(x – 1 > 0\)

b) \(x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0\), biết \(x + y ≥ 0\)

c) \(\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  < 5\) , biết rằng \(a, b, c\) cùng lớn hơn và \(a + b + c = 1\)

Hướng dẫn giải:

a) \(x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4> x^3> x^2> x > 1\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4} > {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}5\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4}\left( {x – 1} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}\left( {x – 1} \right)({\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5} – 1{\rm{ }} > {\rm{ }}5{\rm{ }}\left( {x – 1} \right)\)

b)

\({{x^5} + {\rm{ }}{y^{5}}-{\rm{ }}{x^4}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{y^4} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\left( {{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^{3}} + {\rm{ }}{y^3}} \right)}\)

\({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}} \right)} \right]}\)

\({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right){\rm{ }} – {\rm{ }}2xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}\)

\({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}y} \right)}^2}\left( {{x^2} + {\rm{ }}{y^2}} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}0}\) do \(x + y ≥ 0; (x – y)^2 ≥ 0, x^2 + y^2≥ 0\)

c)

\(\eqalign{
& {(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2} \cr
& = 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \cr
& \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \cr
& \le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25 \cr
& \cr} \)

Suy ra Đpcm

============

Bài 5: trang 160 sgk Đại số 10

Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác:

\(\left\{ \matrix{
x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr
3x + 5y – z = 9 \hfill \cr
5x – 2y – 3z = – 3 \hfill \cr} \right.\)  (I)

Hướng dẫn giải:

Nhân phương trình thứ nhất với \(-3\) rồi cộng vào phương trình thứ hai.

Lại nhân phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình thứ ba thì được hệ:

\((I) ⇔ (II)\)

\(\left\{ \matrix{
x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr
– 4y – 7z = 6 \hfill \cr
– 17y – 13z = – 8 \hfill \cr} \right.\)

Nhân phương trình thứ hai của hệ \((II)\) với \(17\), nhân phương trình thứ ba của hệ \((II)\) với \((-4)\) rồi cộng hai phương trình đó lại ta được:

\((II) ⇔ (III)\)

\(\left\{ \matrix{
x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr
– 4y – 7z = 6 \hfill \cr
– 67z = 134 \hfill \cr} \right.\)

Hệ phương trình \((III)\) có dạng tam giác. Tìm giá trị các ẩn ngược từ dưới lên dễ dàng tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho:

\((x; y; z) = (-1; 2; -2)\)

================

Bài 6: trang 160 sgk Đại số 10

a) Xét dấu biểu thức

\(f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1)\)

b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau

\(y = 2x(x+2) (C_1)\)

\(y = (x+2)(x+1) (C_2)\)

Tính tọa độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của \((C_1)\) và \((C_2)\)

c) Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2+ bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng \(8\) và đồ thị của nó đi qua \(A\) và \(B\).

Hướng dẫn giải:

a) \(f(x) = (x+2)(x-1)\)

\(f(x) > 0\) với \(x < -2\) hoặc \(x > 1\)

\(f(x) ≤  0\) với \(-2 ≤ x ≤ 1\)

b) \(y = 2x (x + 2) = 2(x+1)^2– 2\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK bài 1 đến 6 Ôn tập cuối năm - Đại số 10

Hàm số : \(y{\rm{ }} = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {(x + {3 \over 2})^2} – {1 \over 4}\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK bài 1 đến 6 Ôn tập cuối năm - Đại số 10

Đồ thị (C1) và (C2)

Giải bài tập SGK bài 1 đến 6 Ôn tập cuối năm - Đại số 10

Hoành độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0  ⇔ x_1= -2, x_2= 1\)

\(⇔ A(-2; 0) , B(1; 6)\)

c) Giải hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
{{ac – {b^2}} \over {4a}} \hfill \cr
a{( – 2)^2} + b( – 2) + c = 0 \hfill \cr
a{(1)^2} + b(1) + c = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 2,b = 0,c = 8 \hfill \cr
a = – {2 \over 9},b = {{16} \over 9},c = {{40} \over 9} \hfill \cr} \right.\)

Leave a Reply