Giải bài tập Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Câu 1 (Trang 59 SGK)

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B}=58^{\circ}$ và cạnh a = 72cm. Tính $\widehat{C}$, cạnh b và đường cao h.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Ta có: $\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-58^{\circ}=32^{\circ}$

=> $b = BC.\sin 58^{\circ} = a.\sin 58^{\circ} = 61,06 (cm)$

$c = BC.\cos 58^{\circ} = a.\cos 58^{\circ} = 38,15 (cm)$

=> $h_{a}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{c.b}{a}=\frac{38,15.61,06}{72}=32,35  (cm)$

=============

Câu 2 (Trang 59 SGK)

Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm. Tính các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{85^{2}+54^{2}-52,1^{2}}{2.85.54}\approx 0,81$

=> $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{85^{2}+54^{2}-52,1^{2}}{2.85.54}\approx 0,81$

$\widehat{A}\approx 36^{\circ}$

$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{52,1^{2}+54^{2}-85^{2}}{2.52,1.54}\approx -0,28$

=> $\widehat{B}\approx 106^{\circ}28’$

=> $C=\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}=180^{\circ}-36^{\circ}-106^{\circ}28’=37^{\circ}32’$

=========

Câu 3 (Trang 59 SGK)

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120^{\circ}$ , cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, các góc $\widehat{B} , \widehat{C}$ của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

<=> $a^{2}=8^{2}+5^{2}-2.8.5\cos 120^{\circ}=129  (cm) $

=> $a=\sqrt{129}  (cm) $

Mặt khác: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

=> $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{8.\frac{\sqrt{3}}{2}}{11,36}=0,61$

=> $\widehat{B}=37^{\circ}34’$

=> $C=\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}=180^{\circ}-120^{\circ}-37^{\circ}34’=22^{\circ}26’$

===========

Câu 4 (Trang 59 SGK)

Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+12}{2}=14$

Áp dụng công thức Hê-rông, ta có: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

<=> $S=\sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)}=14\sqrt{5}=31,3$

=============

Câu 5 (Trang 59 SGK)

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120^{\circ}$. Tính cạnh BC, cho biết cạnh AC = m và cạnh AB = n.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} – 2.AB.AC.\cos \widehat{A}$

<=> $BC= m^{2} + n^{2} – 2.m.n.\cos 120^{\circ}$

<=> $BC = m^{2} + n^{2} + mn$

<=> $BC=\sqrt{m^{2}+n^{2}+m.n}$

==============

Câu 6 (Trang 59 SGK)

Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.

a) Tam giác đó có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

<=> $\cos C=\frac{8^{2}+10^{2}-13^{2}}{2.8.10}\approx -0,031$

=> $\widehat{C}=91^{\circ}47’$

Vậy trong tam giác có $\widehat{C}$ là góc tù.

b) Ta có : $AM^{2}=\frac{2(AC^{2}+AB^{2})-BC^{2}}{4}=118,5$

=> $AM=\sqrt{118,5}=10,89$

========

Câu 7 (Trang 59 SGK)

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm;

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm.

Hướng dẫn giải:

Nhận xét : Trong tam giác cạnh nào lớn nhất thì góc đó lớn nhất.

a) Cạnh c = 6cm lớn nhất => $\widehat{C}$ là góc lớn nhất.

=> $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{-11}{24}=0,458$

=> $\widehat{C}=117^{\circ}16’$

b) Cạnh a = 40cm lớn nhất => $\widehat{A}$ là góc lớn nhất.

=> $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=-0,0644$

=> $\widehat{A}=93^{\circ}41’$

=================

Câu 8 (Trang 59 SGK)

Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, $\widehat{B}=83^{\circ}$ và $\widehat{C}=57^{\circ}$. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-83^{\circ}-57^{\circ}=40^{\circ}$

Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

=> $R=\frac{a}{2\sin A}\approx 106,96 (cm)$

=> $b = 2R.sin B = 2.106,96.\sin 83^{\circ} = 212,33 cm$

=> $c = 2R.sin C = 2.106,96.\sin 57^{\circ} = 179,41 cm$

==============

Câu 9 (Trang 59 SGK)

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m, AC = n.

Chứng minh rằng: $m^{2} + n^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD, đồng thời BO là trung tuyến của ΔABC.

=> $BO^{2}=\frac{2(AB^{2}+BC^{2})-AC^{2}}{4}=\frac{2(a^{2}+b^{2})n^{2}}{n}$

Mặt khác : $BO=\frac{1}{2}BD<=>BO^{2}=\frac{1}{4}BD^{2}=\frac{m^{2}}{4}$

=> $\frac{m^{2}}{4}=\frac{2(a^{2}+b^{2})n^{2}}{n}$

<=> $m^{2} + n^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ (đpcm)

================

Câu 10 (Trang 60 SGK)

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ra nhìn chiều cao AB của tháp dưới các

góc $\widehat{BPA}=35^{\circ}$ và $\widehat{BQA}=48^{\circ}$. Tính chiều cao của tháp.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Xét ΔAPB vuông tại A có $\widehat{APB}=35^{\circ}$.

=> $AP=AB.\cot 35^{\circ}$  (1)

Xét ΔAQB vuông tại A có $\widehat{AQB}=48^{\circ}$.

=> $AQ=AB.\cot 48^{\circ}$  (2)

Từ (1),(2) =>  $PQ = AP – AQ = AB(\cot 35^{\circ}- \cot 48^{\circ})$

=> $AB=\frac{300}{\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}}=586,457 (m)$

================

Câu 11 (Trang 60 SGK)

Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm $A_{1}, B_{1}$ cùng thẳng hàng với $C_{1}$ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\widehat{DA_{1}C_{1}}=49^{\circ}$ và$\widehat{DB_{1}C_{1}}=35^{\circ}$. Tính chiều cao CD của tháp đó.

Giải bài tập Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Hướng dẫn giải:

Ta có: $A_{1}B_{1} = AB = 12 m$

Xét $ΔDC_{1}A_{1}$ có: $C_{1}A_{1} = C_{1}D.\cot 49^{\circ}$

Xét $ΔDC_{1}B_{1}$ có: $C_{1}B_{1} = C_{1}D.\cot 35^{\circ}$

Mà $A_{1}B_{1} = C_{1}B_{1} – C_{1}A_{1} = C_{1}D.\cot 35^{\circ} – C_{1}D.\cot 49^{\circ}$

<=> $A_{1}B_{1}   = C_{1}D.( \cot 35^{\circ} – \cot 49^{\circ})$

=> $C_{1}D=\frac{A_{1}B_{1}}{\cot 35^{\circ} – \cot 49^{\circ}}\approx 21,47 (m)$

=> Chiều cao CD của tháp là: $CD = 1,3 + 21,47 = 22,77 m$

Leave a Reply