Giải bài tập Bài 2 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Câu 1 (Trang 62 SGK)

Giải các phương trình:

a) $\frac{x^{2}+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4}$

b) $\frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9}+2$

c) $\sqrt{3x-5}=3$

d) $\sqrt{2x+5}=2$

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{x^{2}+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4}$

Đk: $x\neq \frac{3}{2}$

<=> $4.(x^{2}+3x+2)=(2x-5)(2x+3)$

<=> $16=-23$

<=> $x=\frac{-23}{16}$  (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-23}{16}$.

b) $\frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9}+2$

Đk: $x\neq \pm 3$

<=> $(2x+3)(x+3)-4(x-3)=24+2(x^{2}-9)$

<=> $5x=-15$

<=> $x=-3$   (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{3x-5}=3$

Đk: $x\geq \frac{5}{3}$

<=> $3x-5=0$

<=> $x=\frac{14}{3}$  (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{14}{3}$.

d) $\sqrt{2x+5}=2$

Đk: $x\geq -\frac{5}{2}$

<=> $2x+5=4$

<=> $x=-\frac{1}{2}$  (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{2}$.

=================

Câu 2 (Trang 62 SGK)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) $m(x – 2) = 3x + 1$

b) $m^{2}x + 6 = 4x + 3m$

c) $(2m + 1)x – 2m = 3x – 2$

Hướng dẫn giải:

a) m(x – 2) = 3x + 1

<=> (m – 3)x = 1 + 2m     (1)

Nếu $m – 3 ≠ 0<=>  m ≠ 3$ thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất: $x=\frac{2m+1}{m-3}$

Nếu $m – 3 = 0 <=> m = 3$ thì (1) <=> $0x = 7$ => Phương trình vô nghiệm.

b) $m^{2}x + 6 = 4x + 3m$

<=> (m^{2} – 4)x = 3m – 6     (2)

Nếu $m^{2} – 4 ≠ 0 <=>  m ≠ ±2$ thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất: $x=\frac{3m-6}{m^{2}-4}=\frac{3}{m+2}$

Nếu $m^{2} – 4 = 0 <=> m = ±2$

  • Với $m = 2$ thì (2) <=> $0x = 0$ => phương trình có vô số nghiệm.
  • Với $m = -2$ thì (2) <=> $0x = -12$ => phương trình vô nghiệm.

c) $(2m + 1)x – 2m = 3x – 2$

<=> $2(m – 1)x = 2(m – 1)$

<=> $(m – 1)x = m – 1$     (3)

Nếu $m – 1 ≠ 0 <=> m ≠ 1$ thì phương trình (3) có nghiệm: $x = 1$.

Nếu $m – 1 = 0 <=> m = 1$ thì (3) <=> $0x = 0$.

=> Phương trình có vô số nghiệm

================

Câu 3 (Trang 62 SGK)

Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số quýt ở mỗi rổ ($x > 30; x ∈ N$).

Khi lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì:

Rổ thứ nhất còn: $x – 30$ (quả)

Rổ thứ hai có: $x + 30$ (quả)

Theo đề bài ta có phương trình: $x+30=\frac{1}{3}(x-30)^{2}$

<=> $3(x + 30) = (x – 30)^{2}$

<=> $x^{2} – 63x + 810 = 0$

<=> $x = 18$ (loại) hoặc $x = 45$ (thỏa mãn)

Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả quýt.

=================

Câu 4 (Trang 62 SGK)

Giải các phương trình

a) $2x^{4} – 7x^{2} + 5 = 0$

b) $3x^{4} + 2x^{2} – 1 = 0$

Hướng dẫn giải:

a) $2x^{4} – 7x^{2} + 5 = 0$ (1)

Đặt $t = x^{2}$ ( $t ≥ 0$ )

=> (1) <=> $2t^{2} – 7t + 5 = 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}t=1 & \\ t=\frac{5}{2} & \end{matrix}\right.$

Với $t=1=x^{2} => x=\pm 1$

Với $t=\frac{5}{2}=x^{2} => x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm 1$ ; $x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$.

b) $3x^{4} + 2x^{2} – 1 = 0$

Đặt $t = x^{2}$ ( $t ≥ 0$ )

=> (2) <=> $3t^{2} + 2t – 1 = 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}t=-1<0 & \\ t=\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.$

Với $t=\frac{1}{3}=x^{2} => x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$.

=============

Câu 5 (Trang 62 SGK)

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) $2x^{2} – 5x – 4 = 0$

b) $-3x^{2} + 4x + 2 = 0$

c) $3x^{2}+ 7x + 4 = 0$

d) $9x^{2}- 6x – 4 = 0$

Hướng dẫn giải:

Kết quả:

a)  $x_{1} ≈ 3.137$ và $x_{2} ≈ -0.637$

b)  $x_{1} ≈ 1,721$ và $x_{2} ≈ 0,387$

c)  $x_{1} ≈ -1$ và $x_{2} ≈ -1,333$

d)  $x_{1} ≈ 1,079$ và $x_{2} ≈ -0,412$

=================

Câu 6 (Trang 62 – 63 SGK)

Giải các phương trình

a) $|3x – 2| = 2x + 3$

b) $|2x – 1| = |-5x – 2|$

c) $\frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{\left | x+1 \right |}$

d) $|2x + 5| = x^{2} + 5x + 1$

Hướng dẫn giải:

a) $|3x – 2| = 2x + 3$     (1)

Khi $3x-2\geq 0 => x\geq \frac{2}{3}$

=> (1) <=> $3x – 2 = 2x + 3$

<=> $x = 5$ (nhận)

Khi $3x-2 < 0 => x < \frac{2}{3}$

=> (1) <=> $2 – 3x = 2x + 3$

<=> $5x = -1$

<=> $x=-\frac{1}{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x = 5$ và $x=-\frac{1}{5}$.

b) $|2x – 1| = |-5x – 2|$

<=> $\left\{\begin{matrix}2x-1=-5x-2 & \\ 2x-1=5x+2 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}7x=-1 & \\ 3x=-3 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=-\frac{1}{7} & \\ x=-1 & \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm $\left\{\begin{matrix}x=-\frac{1}{7} & \\ x=-1 & \end{matrix}\right.$.

c) $\frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{\left | x+1 \right |}$

Đk: $\left\{\begin{matrix}x+1\neq 0 & \\ 2x-3\neq 0 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\neq -1 & \\ x\neq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$

<=> $|x + 1|(x – 1) = -6x^{2} + 11x – 3$     (3)

Khi $x + 1 > 0 <=> x > -1$

=> (3) <=> $x^{2} – 1 = -6x^{2} + 11x – 3$

<=> $7x^{2} – 11x + 2 = 0$

<=> $x=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14}$   (t/m)

Khi $x + 1 < 0 <=> x < -1$

=> (3) <=> $1 – x^{2} = -6x^{2} + 11x – 3$

<=> $5x^{2} – 11x + 4 = 0$

<=> $x=\frac{11\pm \sqrt{41}}{10}$   (loại)

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14}$.

d) $|2x + 5| = x^{2} + 5x + 1$  (4)

Khi $2x+5\geq 0 => x\geq -\frac{5}{2}$

=>  (4) <=> $2x + 5 = x^{2} + 5x + 1$

<=> $x^{2} + 3x – 4 = 0$

<=> $x = 1$ (nhận) ; $x = -4$ (loại)

Khi $2x+5 < 0 => x < -\frac{5}{2}$

=> (4) <=> $-2x – 5 = x^{2} + 5x + 1$

<=> $x^{2} + 7x + 6 = 0$

<=> $x = -6$ (nhận) ; $x = -1$ (loại)

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 1 ; x = -6$.

==============

Câu 7 (Trang 63 SGK)

Giải các phương trình:

a) $\sqrt{5x+6}=x-6$

b) $\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1$

c) $\sqrt{2x^{2}+5}=x+2$

d) $\sqrt{4x^{2}+2x+10}=3x+1$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{5x+6}=x-6$

<=> $\left\{\begin{matrix}x-6\geq 0 &  & \\ 5x+6\geq 0 &  & \\ 5x+6=(x-6)^{2} &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 6 & \\ x^{2}-17x+30=0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 6 & \\ x=2 ; x=15 & \end{matrix}\right.=> x=15$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 15$.

b) $\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1$

Đk:  $-2 ≤ x ≤ 3$

<=> $3-x=x+3+2\sqrt{x+2}$

<=> $-x=\sqrt{x+2}$

<=> $\left\{\begin{matrix}x<0 & \\ x^{2}=x+2 & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}x<0 & \\ x^{2}-x-2=0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x<0 & \\ x=-1 ; x=2 & \end{matrix}\right.=> x=-1$

Vậy phương trình có nghiệm $x = -1$.

c) $\sqrt{2x^{2}+5}=x+2$

<=> $\left\{\begin{matrix}x>-2 & \\ 2x^{2}+5=(x+2)^{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}x>-2 & \\ x^{2}-4x+1=0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x>-2 & \\ x=2-\sqrt{3} ; x=2+\sqrt{3} & \end{matrix}\right. => x=2\pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2\pm \sqrt{3}$.

d) $\sqrt{4x^{2}+2x+10}=3x+1$

Đk: $x\geq  -\frac{1}{3}$

<=> $4x^{2} + 2x + 10 = (3x + 1)^{2}$

<=> $4x^{2} + 2x + 10 = 9x^{2} + 6x + 1$

<=> $5x^{2} + 4x – 9 = 0$

<=> $x=1$ ( nhận ) và $x=\frac{-9}{5}$  (loại)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$.

==============

Câu 8 (Trang 63 SGK)

Cho phương trình $3x^{2} – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0$  (1)

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Hướng dẫn giải:

Giả sử phương trình có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ với $x_{2} = 3x_{1}$

Theo định lí Vi-ét ta có: $x_{1}+x_{2}=4x_{1}=\frac{2(m+1)}{3}$

<=> $x_{1}=\frac{m+1}{6}$

Thay giá trị $x_{1}$ vào (1) => $\left\{\begin{matrix}m_{1}=3 & \\ m_{2}=7 & \end{matrix}\right.$

Với $m=3$ => $\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{2}{3} & \\ x_{2}=2 & \end{matrix}\right.$

Với $m=7$ => $\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{4}{3} & \\ x_{2}=4 & \end{matrix}\right.$

Leave a Reply