Bài 3 Hàm số bậc hai – đại số 10

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

  • Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó a, b, c là các hằng số cho trước và \(a \ne 0\).
  • Tập xác định của hàm số bậc hai là R.
  • Hàm số \(y=ax^2\) (a khác 0) mà chúng ta đã học ở lớp dưới là một hàm số bậc hai có đồ thị là một Parabol.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

a) Nhắc lại về đồ thị \(y=ax^2(a\ne0)\)

  • Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ \(O(0;0).\)
  • Parabol đối xứng nhau qua trục tung.
  • Parabol hướng lên trên khi a dương, và hướng xuống dưới khi a âm.

b) Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\)

Ta biết rằng:

\(\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + 2\frac{b}{{2x}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) – \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + c\\ = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} – \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4a}} \end{array}\)

Vì vậy, nếu đặt: \(\Delta = {b^2} – 4ac;p = – \frac{b}{{2a}};q = – \frac{\Delta }{{4a}}\)

Thì hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) trở thành \(y = a{\left( {x – p} \right)^2} + q\)

Kết luận:

Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c(a\ne0)\) là một Parabol có đỉnh \(I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), nhận đường thẳng \(x = – \frac{b}{{2a}}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a dương, bề lõm xuống dưới khi a âm.

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Bài 3 Hàm số bậc hai - đại số 10

  • Khi \(a>0\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị nhỏ nhất là \( – \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = – \frac{b}{{2a}}.\)
  • Khi \(a<0\) hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và có giá trị lớn nhất là \( – \frac{\Delta }{{4a}}\) khi \(x = – \frac{b}{{2a}}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(A(2;3)\) có đỉnh \(I(1;2)\).

Hướng dẫn:

Vì \(A \in \left( P \right)\) nên \(3 = 4a + 2b + c\) (1).

Mặt khác \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên \( – \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\) (2) và \(I \in \left( P \right)\) suy ra \(2 = a + b + c\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 2\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} – 2x + 3\).

 

Ví dụ 2:

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 1\).

Hướng dẫn:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) nên ta có:

\( – \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (5)\(,\,\,\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\) (6) và \(a > 0\)

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) nhận giá trị bằng \(1\) khi\(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\)(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 1\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là \(y = {x^2} – x + 1\).

 

Ví dụ 3:

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {x^2} + 3x + 2\)

b) \(y =  – {x^2} + 2\sqrt 2 x\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \( – \frac{b}{{2a}} =  – \frac{3}{2},\,\, – \frac{\Delta }{{4a}} =  – \frac{1}{4}\)

Bảng biến thiên:

Bài 3 Hàm số bậc hai - đại số 10

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2\) có đỉnh là \(I\left( { – \frac{3}{2}; – \frac{1}{4}} \right)\), đi qua các điểm \(A\left( { – 2;0} \right),\,\,B\left( { – 1;0} \right),\,\,C\left( {0;2} \right),\,\,D\left( { – 3;2} \right)\)

Nhận đường thẳng \(x =  – \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Bài 3 Hàm số bậc hai - đại số 10

b) Ta có \( – \frac{b}{{2a}} = \sqrt 2 ,\,\, – \frac{\Delta }{{4a}} = 2\)

Bảng biến thiên:

Bài 3 Hàm số bậc hai - đại số 10

Suy ra đồ thị hàm số \(y =  – {x^2} + 2\sqrt 2 x\) có đỉnh là \(I\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\), đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Nhận đường thẳng \(x = \sqrt 2 \) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Bài 3 Hàm số bậc hai - đại số 10

L

Leave a Reply