Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Giải bài 10 trang 76 SGK Toán 9 tập 1

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn $34^{\circ}$ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc $34^{\circ}$.

Phương pháp giải

– Vẽ tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.

– Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

$\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};$ $\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}$;

$\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề};$ $\cot \alpha =\dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ đối}.$

Hướng dẫn giải

Vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $\widehat{B}=34^{\circ}$.

Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau:

B1. Vẽ đoạn thẳng $AB$ với độ dài bất kì.

B2. Từ $A$ dựng tia $Ax$ vuông góc với đoạn thẳng $AB$

B3. Từ $B$ dùng thước đo góc vẽ tia $By$ sao cho góc $ABy$ bằng $34$ độ.

B4. $Ax$ và $By$ cắt nhau tại $C$.

B5. Nối các điểm lại với nhau ta được tam giác $ABC$ cần dựng.

Tỉ số lượng giác của góc $\widehat{B}=34^o$ là

$\sin 34^o=\sin B=\dfrac{AC}{BC}$

$\cos 34^o=\cos B=\dfrac{AB}{BC}$

$\tan 34^o=\tan B=\dfrac{AC}{AB}$

$\cot 34^o=\tan C=\dfrac{AB}{AC}$

2. Giải bài 11 trang 76 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó $AC= 0,9 m$, $BC=1,2 m$. Tính các tỷ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A

Phương pháp giải

– Dùng định lí Pytago để tính độ dài cạnh huyền.

– Dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác để tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

$\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};$ $\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}$;

$\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề};$ $\cot \alpha =\dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ đối}.$

– Dựa vào định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: ” Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotang góc kia” để từ các tỉ số lượng giác của góc $B$ tính tỉ số lượng giác của góc $A$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại C, ta có:

$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{0,9^2+1,2^2}=1,5$

Từ đó, ta có

$sinA=cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$

$sinB=cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$

$tanA=cotB=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$

$tanB=cotA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

3. Giải bài 12 trang 76 SGK Toán 9 tập 1

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450: $sin 60^{\circ},cos75^{\circ}, sin52^{\circ}30′, cotg82^{\circ}, tg80^{\circ}$

Phương pháp giải

Nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau (tức $\alpha + \beta=90^o \Rightarrow \alpha = 90^o – \beta)$ thì ta có

$ \sin \alpha =\cos (90^o -\alpha)= \cos \beta$;

$\sin \beta = \cos (90^o- \beta)=\cos \alpha$;

$\tan \alpha =\cot (90^o – \beta)=\cot \beta$;

$\tan \beta = \cot (90^o – \alpha)=\cot \alpha$.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có

$\sin 60^o=\cos (90^o-60^o)=\cos 30^o$

$\cos 75^o=\sin (90^o-75^o)=\sin 15^o$

$\sin 52^o30’=\cos (90^o-52^o 30′)=\cos 37^o 30’$

$\cot 82^o=\tan (90^o – 82^o)=\tan 8^o$

$\tan 80^o=\cot (90^o – 80^o)=\cot 10^o$.

4. Giải bài 13 trang 77 SGK Toán 9 tập 1

Dựng góc nhọn $\alpha$, biết

a) $sin\alpha =\frac{2}{3}$

b) $cos\alpha =0,6$

c) $\tan \alpha = \frac{3}{4}$

d) $cotg\alpha = \frac{3}{2}$

Phương pháp giải

Dựng một tam giác vuông có hai cạnh là $m$ và $n$ (trong đó $m,\ n$ là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền)
Vận dụng định nghĩa các tỷ số lượng giác để tìm ra góc $\alpha$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$sin\alpha =\frac{2}{3}$

Chúng ta tính cạnh còn lại bằng định lí Pytago:

$=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$

Vậy ta sẽ vẽ một góc vuông, và vẽ hai độ lớn là $2$ và $\sqrt{5}$

Hình trên cho ta thấy

$sin\alpha =sinACB=\frac{2}{3}$

Câu b

$cos\alpha =0,6=\frac{3}{5}$

Tương tự câu a, ta sẽ tính độ lớn cạnh góc vuông còn lại bằng Pytago:

$=\sqrt{5^2-3^2}=4$

Vậy ta sẽ vẽ một góc vuông, và vẽ hai độ lớn là $3$ và $4$

Hình trên cho ta thấy:

$cos\alpha =cosABC=\frac{3}{5}=0,6$

Câu c

$tg\alpha =\frac{3}{4}$

Đối với bài này, ta sẽ vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là $3$ và $4$

Hình trên cho ta thấy

$tan\alpha =tanACB=\frac{3}{4}$

Câu d: Cũng tương tự với câu c:

$cotg \alpha = \frac{3}{2}$

Đối với bài này, ta sẽ vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là $3$ và $2$

Hình trên cho ta thấy

$cot\alpha =cotABC=\frac{3}{2}$

5. Giải bài 14 trang 77 SGK Toán 9 tập 1

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha$ tùy ý, ta có:

a) $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha}$

$cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$

$tg\alpha.cotg\alpha =1$

b) $sin{\alpha ^2} + \cos{\alpha ^2} = 1$

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go

Phương pháp giải

– Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

$\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};$ $\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}$;

$\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề};$ $\cot \alpha =\dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ đối}.$

– Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, khi đó: $BC^2=AB^2+AC^2$

Hướng dẫn giải

Ta sẽ sử dụng hình trên để chứng minh các câu trên.

$\widehat{\alpha}=\widehat{ABC}$

Câu a: Ta có

$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}.\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}$

$=tanABC=tan\alpha$

Tương tự, ta có

$\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{AB}{BC}:\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{AC}$

$=cotABC=cot\alpha$

Theo hai ý trên, ta có:

$tan\alpha.cot\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}.\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=1$

Câu b

$sin ^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =\frac{AC^{2}}{BC^{2}}+\frac{AB^{2}}{BC^{2}}=\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$

Nhận xét đối với cách hệ thức trên

$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

$cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$

$tg\alpha.cotg\alpha =1$

$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

là những hệ thức cơ bản cần nhớ để giải một số bài tập khác

6. Giải bài 15 trang 77 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $cosB=0,8$; hãy tính các tỷ số lượng giác của góc C.

Gợi ý: sử dụng bài tập 14

Phương pháp giải

Nếu $\widehat B$ và $\widehat C$ là hai góc phụ nhau, biết $\cos B $, sử dụng công thức: $\sin C =\cos B$. Ta tính được $\sin C$.
Biết $\sin \alpha $, dùng công thức $\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1$ tính được $\cos \alpha$.
Dùng công thức $\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha}$, biết $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ tính được $\tan \alpha$.
Dùng công thức:$\tan \alpha . \cot \alpha =1$, biết $\tan \alpha$ tính được $\cot \alpha$.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế

$sinC>0;cosC>0;tanC>0;cotC>0$

Ta có

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o$

$\Rightarrow sinC=cosB=0,8$

Lại có

$sin^2C+cos^2C=1\Rightarrow cos^2C=1-sin^2C=1-0,8^2=0,36$

$\Rightarrow cosC=0,6(cosC>0)$

$\Rightarrow tanC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow cotC=\frac{cosC}{sinC}=\frac{0,6}{0,8}=\frac{3}{4}$

7. Giải bài 16 trang 77 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác vuông có một góc bằng $60^{\circ}$ và cạnh huyền có độ dài bằng $8$. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện góc $60^{\circ}$.

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn:

$\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh \ huyền} $

$\Rightarrow {cạnh\ đối} = \sin \alpha. {cạnh\ huyền}.$

Hướng dẫn giải

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$ có $\widehat B=60^0$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC} \Leftrightarrow \sin 60^o = \dfrac{AC}{8}$

$\Leftrightarrow AC =8. \sin 60^o=8.\dfrac{\sqrt 3}{2}=4\sqrt 3.$

Vậy cạnh đối diện với góc $60^o$ là $AC=4\sqrt 3$.

8. Giải bài 17 trang 77 SGK Toán 9 tập 1

Tìm giá trị của x trong hình 23

Phương pháp giải

Sử dụng tỷ số lượng giác: $\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề} \Rightarrow {cạnh\ đối}=\tan \alpha . {cạnh\ kề}$.
Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông, tính được cạnh huyền.

Hướng dẫn giải

Vậy độ dài AC chính là x cần tìm.

Xét tam giác BHA vuông tại H có

$\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=45^o\\ BH\perp HA \end{matrix}\right.$

Vậy tam giác ABH vuông cân tại H.

$\Rightarrow BH=AH=20$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=29$

Vậy $x=29$