1. Giải bài 7 trang 39 SGK Toán 8 tập 1
Rút gọn phân thức:
a) \(\dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}\)
b) \(\dfrac{10xy^2(x + y)}{15xy(x + y)^3}\)
c) \(\dfrac{2x^2 + 2x}{x + 1}\)
d) \(\dfrac{x^2 – xy – x + y}{x^2 + xy – x – y}\)
Phương pháp giải
– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung.
– Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Hướng dẫn giải
Câu a
\( \dfrac{6x^{2}y^{2}}{8xy^{5}}= \dfrac{3x.2xy^{2}}{4y^{3}.2xy^{2}}= \dfrac{3x}{4y^{3}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(2xy^{2}\))
Câu b
\( \dfrac{10xy^{2}(x + y)}{15xy(x + y)^{3}} = \dfrac{2y.5xy(x + y)}{3(x + y)^{2}.5xy(x + y)}\)\(\,= \dfrac{2y}{3(x + y)^{2}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(5xy(x + y)\))
Câu c
\( \dfrac{2x^{2} + 2x}{x + 1}= \dfrac{2x(x + 1)}{x + 1} = 2x\) (rút gọn cho nhân tử chung \(x+1\))
Câu d
\( \dfrac{x^{2}- xy – x + y}{x^{2} + xy – x – y}\)
\(= \dfrac{x(x – y)- (x – y)}{x(x + y)- (x + y)}\)
\(= \dfrac{(x – y)(x – 1)}{(x + y)(x – 1)}\)
\( = \dfrac{x – y}{x + y}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(x-1\))
2. Giải bài 8 trang 40 SGK Toán 8 tập 1
Trong một tờ nháp của một bạn có ghi một số phép rút gọn phân thức như sau:
a) \( \dfrac{3xy}{9y}= \dfrac{x}{3}\)
b) \( \dfrac{3xy + 3}{9y + 3}= \dfrac{x}{3}\)
c) \( \dfrac{3xy + 3}{9y + 9}= \dfrac{x + 1}{3 + 3} = \dfrac{x + 1}{6}\)
d) \( \dfrac{3xy + 3x}{9y + 9}= \dfrac{x }{3}\)
Theo em câu nào đúng, câu nào sai? Em hãy giải thích
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức: Nếu nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Hướng dẫn giải
Câu a: \( \dfrac{3xy}{9y}= \dfrac{x.3y}{3.3y}= \dfrac{x}{3}\), đúng vì đã rút gọn cả tử cả mẫu của vế trái cho \(3y\).
Câu b: Ta có: \(\dfrac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \dfrac{{3(xy + 1)}}{{3(3y + 1)}}\)
Xét theo đề bài \( \dfrac{3xy + 3}{9y + 3}= \dfrac{x}{3}\)
Mẫu của vế phải là \(3\) chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho \(3y + 1\) vì \(9y + 3 = 3(3y + 1)\)
Nhưng tử của vế trái không có nhân tử \(3y + 1\). Nên phép rút gọn này sai.
Câu c: Sai, vì:
\(\dfrac{{3xy + 3}}{{9y + 9}} = \dfrac{{3\left( {xy + 1} \right)}}{{9\left( {y + 1} \right)}} \ne \dfrac{{x + 1}}{{3 + 3}} = \dfrac{{x + 1}}{6}\)
Câu d: \(\dfrac{{3xy + 3x}}{{9y + 9}} = \dfrac{{3x(y + 1)}}{{9(y + 1)}} = \dfrac{x}{3}\)
Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là \(3(y + 1).\)
3. Giải bài 9 trang 40 SGK Toán 8 tập 1
Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:
a) \(\dfrac{36(x – 2)^3}{32 – 16x}\)
b) \(\dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy}\)
Phương pháp giải
– Áp dụng qui tắc đối dấu: \( \dfrac{A}{B}= \dfrac{-A}{-B}\)
– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung
– Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Hướng dẫn giải
Câu a
\( \dfrac{36(x – 2)^{3}}{32 – 16x} = \dfrac{36(x – 2)^{3}}{16(2 – x)}\)
\(= \dfrac{36(x – 2)^{3}}{-16(x – 2)}= \dfrac{-9(x-2)^2.4(x – 2)}{4.4(x – 2)}\)\(= \dfrac{-9(x – 2)^{2}}{4}\)
Cách 2
\( \dfrac{36(x – 2)^{3}}{32 – 16x} = \dfrac{36(x – 2)^{3}}{16(2 – x)}\)
\(= \dfrac{36[-( 2-x)]^{3}}{16(x – 2)}= \dfrac{-36(2 – x)^{3}}{16(2 – x)}\)
\(= \dfrac{-9(2-x)^2.4(2 – x)}{4.4(2 – x)}= \dfrac{-9(2 – x)^{2}}{4}\)
Câu b
\( \dfrac{x^{2}- xy}{5y^{2} – 5xy} = \dfrac{x(x – y)}{5y(y – x)}\)
\(= \dfrac{-x(y – x)}{5y(y – x)}= \dfrac{-x}{5y}\)
4. Giải bài 10 trang 40 SGK Toán 8 tập 1
Đố. Đố em rút gọn được phân thức: \(\dfrac{x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^2 – 1} \)
Phương pháp giải
– Trên tử số: ta nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử.
– Dưới mẫu số: áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích thành nhân tử.
– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Hướng dẫn giải
\( \dfrac{x^{7}+ x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2}-1} \)
\( = \dfrac{{\left( {{x^7} + {x^6}} \right) + \left( {{x^5} + {x^4}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)
\( = \dfrac{{{x^6}(x + 1) + {x^4}(x + 1) + {x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}}\)
\(= \dfrac{(x+1)(x^{6}+x^{4}+x^{2}+1)}{(x-1)(x+1)}\)
\(= \dfrac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{x-1}\)
5. Giải bài 11 trang 40 SGK Toán 8 tập 1
Rút gọn phân thức:
a) \(\dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}\)
b) \(\dfrac{15x(x + 5)^3}{20x^2(x + 5)}\)
Phương pháp giải
– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung
– Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\dfrac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}} = \dfrac{{2{x^2}.6x{y^2}}}{{3{y^3}.6x{y^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{3{y^3}}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(6x{y^2})\)
Câu b
\(\dfrac{{15x{{\left( {x + 5} \right)}^3}}}{{20{x^2}\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{3{{\left( {x + 5} \right)}^2}.5x\left( {x + 5} \right)}}{{4x.5x\left( {x + 5} \right)}}\)\(\; = \dfrac{{3{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{4x}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(5x\left( {x + 5} \right))\)
6. Giải bài 12 trang 40 SGK Toán 8 tập 1
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức:
a) \(\dfrac{3x^2 – 12x + 12}{x^4 – 8x}\)
b) \(\dfrac{7x^2 + 14x + 7}{3x^2 + 3x}\)
Phương pháp giải
– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức để tìm nhân tử chung
– Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\eqalign{
& {{3{x^2} – 12x + 12} \over {{x^4} – 8x}} = {{3\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)} \over {x\left( {{x^3} – 8} \right)}} \cr
& = {{3\left( {{x^2} – 2.x.2 + {2^2}} \right)} \over {x\left( {{x^3} – {2^3}} \right)}} \cr
& = {{3{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \over {x\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} \cr
& = {{3\left( {x – 2} \right)} \over {x\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} \cr} \)
Câu b
\(\eqalign{
& {{7{x^2} + 14x + 7} \over {3{x^2} + 3x}} = {{7\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {3x\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{7{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {3x\left( {x + 1} \right)}} = {{7\left( {x + 1} \right)} \over {3x}} \cr} \)
(rút gọn cho nhân tử chung là \(x+1)\)
7. Giải bài 13 trang 40 SGK Toán 8 tập 1
Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:
a) \(\dfrac{45x(3 – x)}{15x(x – 3)^3} \)
b) \(\dfrac{y^2 – x^2}{x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3}\)
Phương pháp giải
– Áp dụng quy tắc đổi dấu.
– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung.
– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\eqalign{
& {{45x\left( {3 – x} \right)} \over {15x{{\left( {x – 3} \right)}^3}}} = {{3.15x\left( {3 – x} \right)} \over {15x{{\left( {x – 3} \right)}^3}}} \cr
& = {{3\left( {3 – x} \right)} \over {{{\left( {x – 3} \right)}^3}}} = {{ – 3\left( {x – 3} \right)} \over {{{\left( {x – 3} \right)}^3}}}\cr& = {{ – 3.\left( {x – 3} \right)} \over {{{\left( {x – 3} \right)}^2}.(x-3)}}\cr& = {{ – 3} \over {{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} \cr} \)
Câu b
\(\eqalign{
& {{{y^2} – {x^2}} \over {{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}}} \cr
& = {{\left( {y + x} \right)\left( {y – x} \right)} \over {{{\left( {x – y} \right)}^3}}} \cr
& = {{ – \left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)} \over {{{\left( {x – y} \right)}^3}}} \,\text{(do}\,\,y-x=-(x-y))\cr
& = {{ – \left( {x + y} \right)} \over {{{\left( {x – y} \right)}^2}}} \cr} \)