Giải SBT hình học 12 Ôn tập chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Ôn tập chương 3 hình học lớp 12 – Phương pháp tọa độ trong không gian –sách bài tập (SBT) Hình học 12

 

Bài 3.46

Lập phương trình mặt phẳng  (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: \({{x – 3} \over 2} = {{y + 1} \over { – 1}} = {z \over 3}\)

Hướng dẫn

Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2; – 1;3)\).

Phương trình của (P) là: \(2(x – 1) – (y  +3) + 3(z – 2) = 0\)  hay \(2x – y + 3z – 11 = 0.\)


Bài 3.47

Lập phương trình mặt phẳng (P)  đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.

Giải

Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}}  = (1;0; – 1)\)

Phương trình của (P) là: \((x – 1) – (z – 2) = 0\)  hay \(x – z + 1 = 0.\)


Bài 3.48

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).

Giải

Ta có:  \(\overrightarrow {AB} ( – 1;4; – 1);\overrightarrow {AC} (1;4; – 3)\)

\(\eqalign{& \Rightarrow \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = \left( {\left| \matrix{4\,\,\,\, – \,1 \hfill \cr 4\,\,\,\, – 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{- 1\,\,\,\, – 1 \hfill \cr – 3\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{- 1\,\,\,\,4 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left( { – 8; – 4; – 8} \right) \cr} \)

Suy ra có thể chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là: \(2x + (y – 1) + 2(z  +1) = 0\)  hay  \(2x + y + 2z + 1 = 0.\)


Bài 3.49 trang 132 SBT Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:

\(d:\left\{ {\matrix{{x = – 2 – t} \cr {y = 1 + 4t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\)  và  \(d’:\left\{ {\matrix{{x = – 1 + t’} \cr {y = – 3 + 4t’} \cr {z = 2 – 3t’} \cr} } \right.\)

Bài làm

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a ( – 1;4; – 1)\)

Đường thẳng d’  đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow b (1;4; – 3)\)

Suy ra: \(\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b  = ( – 8; – 4; – 8) \ne \overrightarrow 0 \)

Ta có:  \(\overrightarrow {MN} (1; – 4;1)\)  nên  \(\overrightarrow {MN} .(\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b ) = 0\) do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là : \(2(x  +2) + (y – 1)  +2(z – 1) = 0\)  hay  \(2x + y + 2z + 1 = 0.\)


Bài 3.50 trang 132

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng d: \({{x + 2} \over { – 1}} = {{y – 1} \over 4} = {{z – 1} \over { – 1}}\)

Giải

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a ( – 1;4; – 1)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MI} (1; – 2;0)\)  , chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {MI}  \wedge \overrightarrow a  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là:  \(2(x + 2)  +(y – 1) + 2(z – 1) = 0\)  hay \(2x + y + 2z  +1 = 0\)


Bài 3.51

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = – 2 – t} \cr {y = 1 + 4t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\) và song song với d1: \({{x – 1} \over 1} = {{y – 1} \over 4} = {{z – 1} \over { – 3}}\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1;1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a ( – 1;4; – 1)\)

Đường thẳng d1 đi qua N(1; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow b (1;4; – 3)\)

Ta có:  \(\overrightarrow {MN} (3;0;0);\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b  = ( – 8; – 4; – 8)\) nên \(\overrightarrow {MN} (\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b ) \ne 0\) , suy ra d và d1 chéo nhau. Do đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) có vecto pháp tuyến bằng \(\overrightarrow a  \wedge \overrightarrow b \)

Phương trình của (P) là: \(–8(x + 2) – 4(y – 1) – 8(z – 1) = 0\) hay \(2x  +y + 2z + 1 = 0\)


Bài 3.52

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song  và cách đều hai mặt phẳng

(P1): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P2): 2x + y + 2z  +5 = 0.

Trả lời

Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)

\(\Leftrightarrow  | 2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|\)

\(\Leftrightarrow  2x  + y + 2z + 1 = –(2x + y + 2z + 5)\)

\(\Leftrightarrow  2x + y + 2z + 3 = 0\)

Từ đó suy ra phương trình của (P) là: \(2x + y + 2z + 3 = 0.\)


Bài 3.53 Hình học 12

Cho hai mặt phẳng:

(P1): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P2): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P1) và (P2) là bằng nhau.

Đáp án

Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow  d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)

\(\Leftrightarrow {{|2x + y + 2z + 1|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{|4x – 2y – 4z + 7|} \over {\sqrt {16 + 4 + 16} }}\)

\(\Leftrightarrow  2|2x + y + 2z + 1| = |4x – 2y – 4z + 7|\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4x + 2y + 4z + 2 = 4x – 2y – 4z + 7} \cr {4x + 2y + 4z + 2 = – (4x – 2y – 4z + 7)} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left[ {\matrix{{4y + 8z – 5 = 0} \cr {8x + 9 = 0} \cr} } \right.\)

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là:  \(4y + 8z – 5 = 0\) hoặc \(8x + 9 = 0\)


Bài 3.54

Cho hai đường thẳng d:  \(\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = – 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.\) và  d1: \(\left\{ {\matrix{{x = – 2 + t’} \cr {y = – 2} \cr {z = – 11 – t’} \cr} } \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.

Giải SBT hình học 12 Ôn tập chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; – 2;1)\). Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; – 1)\).

Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc  chung AB của d, d1 và song song với d và d1.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; – 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = ( – 8 + t’; – 2 + 2t; – 18 – t – t’)\)

Ta có: \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 2( – 2 + 2t) + ( – 18 – t – t’) = 0} \cr { – 8 + t’ – ( – 18 – t – t’) = 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 5t – t’ – 14 = 0} \cr {t + 2t’ + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t = – 2} \cr {t’ = – 4} \cr} } \right.\)

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( – 12; – 6; – 12)\) . Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1là:

\(\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { – 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { – 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ – 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right) \cr & = \left( {2;1;2} \right) \cr} \)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

\(\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right) \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ – 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right) = ( – 5;2;4) \cr} \)

Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)

Để tìm \({d_1} \cap (Q)\)   ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

\(–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\)

\(\Rightarrow  t’ = 4\)

\(\Rightarrow {d_1} \cap (Q) = B( – 6; – 2; – 7)\)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}}  = ( – 1;4; – 1)\)

Phương trình của (R) là \( –x  + 4y – z – 5 = 0.\)

Suy ra  \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)


Bài 3.55

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y  +3z + 1 = 0  và  (R): x – 2y – z + 8 = 0

Hướng dẫn

Chọn:

\(\eqalign{& \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \wedge \overrightarrow {{n_R}} \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 1} \cr { – 2} \cr} } & {\matrix{3 \cr { – 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{3 \cr { – 1} \cr} } & {\matrix{2 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{2 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ – 1} \cr { – 2} \cr} } \cr} } \right|} \right) = \left( {7;5; – 3} \right) \cr} \)

Phương trình của (P) là:

\(7(x – 1) + 5(y  +3) – 3(z – 2) = 0\)

Hay  \(7x + 5y – 3z  +14 = 0\)


Bài 3.56

Lập phương trình tham số của đường thẳng d  đi qua hai điểm phân biệt M0(x0 ;y0; z0) và M1(x1, y1, z1)

Hướng dẫn làm bài

Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \)

Do đó phương trình tham số của d là:

 \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + ({x_1} – {x_0})t} \cr {y = {y_0} + ({y_1} – {y_0})t} \cr {z = {z_0} + ({z_1} – {z_0})t} \cr} } \right.\)


Bài 3.57

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Bài làm: Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} (A;B;C)\)

Do đó phương trình tham số của d là:  \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + At} \cr {y = {y_0} + Bt} \cr {z = {z_0} + Ct} \cr} } \right.\)


Bài 3.58

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau

(P) Ax + By + Cz + D = 0  và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Giải

Do (P) và (Q) cắt nhau nên \(\overrightarrow {{n_P}}  \wedge \overrightarrow {{n_Q}}  \ne \overrightarrow 0 \) . Đường thẳng d đi qua M0và có vecto chỉ phương

\(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = (\left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B’} \cr} } & {\matrix{C \cr {C’} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C’} \cr} } & {\matrix{A \cr {A’} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A’} \cr} } & {\matrix{B \cr {B’} \cr}} \cr} } \right|)\)

Do đó phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + \left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B’} \cr} } & {\matrix{C \cr {C’} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {y = {y_0} + \left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C’} \cr} } & {\matrix{A \cr {A’} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {z = {z_0} + \left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A’} \cr} } & {\matrix{B \cr {B’} \cr} } \cr} } \right|t} \cr} } \right.\)

Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0   và  (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0  với M0 là điểm chung của (P) và (Q).


Bài 3.59 trang 133 SBT Toán hình 12

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d:  \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\)

Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1;1;0)\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow a  \wedge \overrightarrow {{n_P}}  = ( – 2;2;1)\)

Phương trình của (Q) là : -2x + 2y + z – 9 = 0

Khi đó: \(d’ = (P) \cap (Q)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  \wedge \overrightarrow {{n_Q}}  = (6;3;6)\)

Chọn vecto chỉ phương của d’ là: \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (2;1;2)\)

Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn  A(-3; 1; 1)

Khi đó, phương trình của d’ là:  \(\left\{ {\matrix{{x = – 3 + 2t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)


Bài 3.60 – Ôn tập chương 3 hình 12

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = – 3 + 2t} \cr {y = 1 – t} \cr {z = – 1 + 4t} \cr} } \right.\)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Hướng dẫn làm bài:

Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}}  = (2; – 1;4)\)

Xét điểm B(–3 + 2t; 1 – t ; –1 + 4t)  thì \(\overrightarrow {AB}  = (1 + 2t;3 – t; – 5 + 4t)\)

\(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}}  = 0\)

\(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) – (3 – t) + 4( – 5 + 4t) = 0 \Leftrightarrow  t = 1\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = (3;2; – 1)\)

Vậy phương trình của  \(\Delta \) là: \({{x + 4} \over 3} = {{y + 2} \over 2} = {{z – 4} \over { – 1}}\)


Bài 3.61

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Bài giải

\(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AC} = (0;6;0)} \cr {A(2;0;0)} \cr} } \right. \Rightarrow C(2;6;0)\)

Do đó  I(1; 3; 4)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua I và vuông góc với OA là: x – 1 = 0 ,\((\alpha )\) cắt OA tại K(1; 0; 0)

Khoảng cách từ I đến OA là:

\(IK = \sqrt {{{(1 – 1)}^2} + {{(0 – 3)}^2} + {{(0 – 4)}^2}}  = 5\)


Bài 3.62

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD. A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

Giải SBT hình học 12 Ôn tập chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:  B1 là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}}  = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B}  = \overrightarrow k \). Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).

Suy ra \(M(0;0;{1 \over 2}),P(1;{1 \over 2};0),N({1 \over 2};1;1)\)

Ta có \(\overrightarrow {MP}  = (1;{1 \over 2}; – {1 \over 2});\overrightarrow {{C_1}N}  = ({1 \over 2};0;1)\)

Gọi \((\alpha )\)  là mặt phẳng chứa C1N và song song với MP. \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = ({1 \over 2}; – {5 \over 4}; – {1 \over 4})\)   hay \(\overrightarrow n ‘ = (2; – 5; – 1)\)

Phương trình  của \((\alpha )\) là \( 2x – 5(y – 1) – z = 0\) hay \(2x – 5y – z + 5 = 0\)

Ta có  \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) = {{| – {1 \over 2} + 5|} \over {\sqrt {25 + 4 + 1} }} = {9 \over {2\sqrt {30} }}\)

Ta có: \(\cos (\widehat {MP,{C_1}N}) = {{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |} \over {|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\) .  Vậy \((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\).

Leave a Reply