Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Bài 3. Phương trình đường thẳng.  sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bài 3.31

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)  trong các trường hợp sau:

a)  \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3;3;1)\) ;

b)  \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) :  2x – y + z + 9 = 0

c)  \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Hướng dẫn

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3;3;1)\)  là: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 3t} \cr {y = 2 + 3t} \cr {z = 3 + t} \cr} } \right.\)

Phương trình chính tắc của  \(\Delta \) là \({{x – 1} \over 3} = {{y – 2} \over 3} = {{z – 3} \over 1}\)

b) \(\Delta  \bot (\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{a_\alpha }}  = (2; – 1;1)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = – t} \cr {z = – 1 + t} \cr} } \right.\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x – 1} \over 2} = {y \over { – 1}} = {{z + 1} \over 1}\)

c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {CD}  = (1;2;3)\)

Vậy phương trình tham số của  \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 + 2t} \cr {z = 1 + 3t} \cr} } \right.\)

Phương trình chính tắc của  \(\Delta \) là  \({{x – 1} \over 1} = {{y + 1} \over 2} = {{z – 1} \over 3}\)


Bài 3.32 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\): x  +2z = 0 và cắt hai đường kính  d1: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 – t} \cr {y = t} \cr {z = 4t} \cr} } \right.\) và d2:  \(\left\{ {\matrix{{x = 2 – t’} \cr {y = 4 + 2t’} \cr {z = 4} \cr} } \right.\)

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với \((\alpha )\) . Đường thẳng  \(\Delta \) cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: \(A(1 – t;t;4t) \in {d_1}\)

          \(A \in (\alpha ) \Leftrightarrow  t + 4.(2t) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)

Suy ra:  A(1; 0; 0)

Ta có : \(B(2 – t’;4 + 2t’;4) \in {d_2}\)

           \(B \in (\alpha ) \Leftrightarrow 4 + 2t’ + 8 = 0 \Leftrightarrow t’ =  – 6\)

Suy ra  B(8; -8; 4)

\(\Delta \) đi qua A, B nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {AB}  = (7; – 8;4)\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta \)  là:  \({{x – 1} \over 7} = {y \over { – 8}} = {z \over 4}\)


Bài 3.33

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a)  \(d:{{x + 1} \over 1} = {{y – 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}\) và \(d’:{{x – 1} \over 3} = {{y – 5} \over 2} = {{z – 4} \over 2}\)

b)\(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 – t} \cr} } \right.\)  và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t’} \cr {y = 8 + 2t’} \cr {z = 10 – 2t’} \cr} } \right.\)

c) \(d:\left\{ {\matrix{{x = – t} \cr {y = 3t} \cr {z = – 1 – 2t} \cr} } \right.\)  và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t’} \cr} } \right.\)

Giải

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (3;2;2)\)

Suy ra \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}}  = ( – 2;7; – 4)\)

Ta có \({M_0}( – 1;1; – 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d’ \Rightarrow  }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}’}  = (2;4;6)\)

Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}’}  =  – 4 + 28 – 24 = 0\) . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;1; – 1)\)  và \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (2;2; – 2).{M_0}(0;1;2) \in d\)

Vì \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d’}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d’} \cr} } \right.\)  (tọa độ M0 không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}}  = ( – 1;3; – 2)\)

d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (0;0;5)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}}  = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0 \)

Ta có \({M_0}(0;0; – 1) \in d\)

\(M{‘_0}(0;9;0) \in d’ \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = 45 \ne 0\)

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.


Bài 3.34 SBT Hình 12 trang 129

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

\(d:\left\{ {\matrix{{x = 5 + t} \cr {y = at} \cr {z = 2 – t} \cr} } \right.\)  và  \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t’} \cr {y = a + 4t’} \cr {z = 2 – 2t’} \cr} } \right.\)

Bài giải

Ta có \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;a; – 1)\) và \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (2;4; – 2)\)

    \(d//d’ \Rightarrow {1 \over 2} = {a \over 4} = {{ – 1} \over { – 2}} \Rightarrow  a = 2\)

Khi đó \(M{‘_0}(1;2;2)\) thuộc d’ và M’0không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2.


Bài 3.35

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\)   và  \((\alpha )\) : x + 2y + z – 3 = 0

b)  d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 – t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\)  : x + z + 5 = 0

c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 – t} \cr {y = 2 – t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)   và \((\alpha )\)  : x +y + z -6 = 0

Bài làm

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d  vào phương trình tổng quát của mặt phẳng  \((\alpha )\)  ta được:  t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\)   tại M0(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát  của \((\alpha )\)  ta được: (2 – t)  +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\)  ta được:  (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t  = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) .


Bài 3.36 trang 130 SBT Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\)

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (2;2;1)\) .

Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A}  = (0;0;1),\overrightarrow n  = \overrightarrow a  \wedge \overrightarrow {{M_0}A}  = (2; – 2;0)\) .

\(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến  \(\Delta \) là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\).


Bài 3.37 Hình học lớp 12

Cho đường thẳng  \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\)   và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \)  và \((\alpha )\)

Bài giải

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2;3;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; – 2;1)\)

       \(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 4 – 6 + 2 = 0\)  (1)

Xét  điểm  M0(-3; -1; -1)  thuộc \(\Delta \)  , ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\) . Vậy  \({M_0} \notin (\alpha )\)        (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra  \(\Delta //(\alpha )\)

b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( – 3) – 2.( – 1) + ( – 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \)  và mặt phẳng \((\alpha )\) là \({2 \over 3}\).


Bài 3.38

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) trong các trường hợp sau:

a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)  và  \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = 2 – 3t’} \cr {y = 2 + 3t’} \cr {z = 3t’} \cr} } \right.\)

b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)  và    \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:   \(\overrightarrow a  = (1; – 1;0)\) và \(\overrightarrow a ‘ = ( – 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( – 1; – 1;0)\)

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

\((\alpha )\) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha ‘}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta ‘\)

      \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)     và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta ‘\) .

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d(M’,(\alpha )) = {{|5.(2) – 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và  \(\Delta ‘\)  là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).


Bài 3.39 trang 130 SBT Hình học 12

Cho hai đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z – 4} \over { – 2}}\)

                                 \(\Delta ‘:{{x + 2} \over { – 4}} = {{y – 1} \over { – 2}} = {{z + 1} \over 4}\)

a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) ;

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta ‘\)  .

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

a)  \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (2;1; – 2)\)

\(\Delta ‘\)   đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a’}  = ( – 4; – 2;4)\)

Ta có   \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {a’} = 2\overrightarrow a } \cr {{M_0} \notin \Delta ‘} \cr} } \right.\)

Vậy \(\Delta ‘\)  song song với \(\Delta \)

b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = ( – 3;4; – 5)\)

           \(\overrightarrow a  = (2;1; – 2)\)

\(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  \wedge \overrightarrow a  = ( – 3; – 16; – 11)\)

\(d(\Delta ,\Delta ‘) = M{‘_0}H = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {9 + 256 + 121} } \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\sqrt {386} } \over 3}\)


Bài 3.40

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {{y + 1} \over { – 1}} = {z \over 2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \) .

Đáp án

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 2t} \cr} } \right.\)

Xét điểm \(H(1 + 2t; – 1 – t;2t) \in \Delta \)

Ta có \(\overrightarrow {MH}  = (2t – 1; – t;2t – 1)\)

     \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2; – 1;2)\)

H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow  \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_\Delta }}  = 0\)

\(\Leftrightarrow 2(2t – 1) + t + 2(2t – 1) = 0 \Leftrightarrow t = {4 \over 9}\)

Ta suy ra tọa độ điểm \(H({{17} \over 9};{{ – 13} \over 9};{8 \over 9})\)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra xM’ + xM = 2xH

Suy ra \({x_{M’}} = 2{x_H} – {x_M} = {{34} \over 9} – 2 = {{16} \over 9}\)

Tương tự, ta được \({y_{M’}} = 2{y_H} – {y_M} = {{ – 26} \over 9} + 1 = {{ – 17} \over 9};\)

\({z_{M’}} = 2{z_H} – {z_M} = {{16} \over 9} – 1 = {7 \over 9}\)

Vậy  \(M'({{16} \over 9};{{ – 17} \over 9};{7 \over 9})\)


Bài 3.41 trang 131 Toán hình 12

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \((\alpha )\) ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha )\) .

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0 là:   \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 2 + 2t} \cr} } \right.\)

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t ; 2 + 2t) \( \in \Delta \)

Ta có \(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 \Leftrightarrow t = {{ – 19} \over 9}\)

Vậy ta được \(H({{ – 29} \over 9};{{10} \over 9};{{ – 20} \over 9})\)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M’}} = 2{x_H} – {x_M} = {{ – 58} \over 9} – 1 = {{ – 67} \over 9}\)

          \({y_{M’}} = 2{y_H} – {y_M} = {{20} \over 9} + 1 = {{29} \over 9}\)

          \({z_{M’}} = 2{z_H} – {z_M} = {{ – 40} \over 9} – 2 = {{ – 58} \over 9}\)

Vậy ta được  \(M'({{ – 67} \over 9};{{29} \over 9};{{ – 58} \over 9})\).


Bài 3.42

Cho hai đường thẳng :  \(d:{{x – 1} \over { – 1}} = {{y – 2} \over 2} = {z \over 3}\)  và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t’} \cr {y = 3 – 2t’} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng d:\(\left\{ {\matrix{{x = 1 – t} \cr {y = 2 + 2t} \cr {z = 3t} \cr} } \right.\)

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là \(\overrightarrow a  = ( – 1;2;3),\overrightarrow {a’}  = (1; – 2;0)\).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có \(\overrightarrow {MM’}  = (t’ + t;1 – 2t’ – 2t;1 – 3t)\) .

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {MM’} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {MM’} .\overrightarrow {a’} = 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – t’ – t + 2 – 4t’ – 4t + 3 – 9t = 0} \cr {t’ + t – 2 + 4t’ + 4t = 0} \cr} } \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5t’ + 14t = 5} \cr {5t’ + 5t = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {1 \over 3}} \cr {t’ = {1 \over {15}}} \cr} } \right.\)

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M({2 \over 3};{8 \over 3};1),M'({{16} \over {15}};{{43} \over {15}};1)\)

Do đó \(\overrightarrow {MM’}  = ({6 \over {15}};{3 \over {15}};0)\)

Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2;1;0)\)

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\matrix{{x = {2 \over 3} + 2t} \cr {y = {8 \over 3} + t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)


Bài 3.43

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ,\(\overrightarrow {CD}  = a\overrightarrow i ;\overrightarrow {CB}  = a\overrightarrow j ;\overrightarrow {CC’}  = a\overrightarrow k \)

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a,; 0;0), D’(a; 0; a)

\(\overrightarrow {CA’}  = (a;a;a),\overrightarrow {{\rm{DD}}’}  = (0;0;a)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\overrightarrow {CA’} \) và song song với \(\overrightarrow {DD’} \) . Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {CA’}  \wedge \overrightarrow {{\rm{DD}}’}  = ({a^2}; – {a^2};0)\)    hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của \((\alpha )\) là x – y = 0.

Ta có: \(d(CA’,{\rm{DD}}’) = d(D,(\alpha )) = {{| – a|} \over {\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {a \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng  CA’ và DD’ là  \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)


Bài 3.44 SBT Toán lớp 12

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: \({{x – 1} \over 2} = {y \over 1} = {{z + 2} \over { – 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\) , hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\)

Lời giải

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = t} \cr {z = – 2 – 3t} \cr} } \right.\)

Xét phương trình:

\(2(1 + 2t) + (t) + ( – 2 – 3t) – 1 = 0  \Leftrightarrow 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow  t = {1 \over 2}\)

Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại điểm \(M(2;{1 \over 2}; – {7 \over 2})\).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1;1)\)   và \(\overrightarrow {{a_d}}  = (2;1; – 3)\).

Gọi \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \)   là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \)  và \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{a_d}} \).

Suy ra \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  \wedge \overrightarrow {{n_d}}  = ( – 4;8;0)\)  hay \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (1; – 2;0)\)

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là  \(\left\{ {\matrix{{x = 2 + t} \cr {y = {1 \over 2} – 2t} \cr {z = – {7 \over 2}} \cr} } \right.\)


Bài 3.45

Cho hai đường thẳng  d1:  \({{x – 1} \over 2} = {{y + 2} \over { – 3}} = {{z – 5} \over 4}\)  và d2: \(\left\{ {\matrix{{x = 7 + 3t} \cr {y = 2 + 2t} \cr {z = 1 – 2t} \cr} } \right.\)

a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng \((\alpha )\).

b) Viết phương trình của \((\alpha )\).

Bài làm

Giải SBT Hình học 12 chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

a) Ta có  \(\overrightarrow {{a_{{d_1}}}}  = (2; – 3;4)\)  và \(\overrightarrow {{a_{{d_2}}}}  = (3;2; – 2)\)

\(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_{{d_1}}}}  \wedge \overrightarrow {{a_{{d_2}}}}  = ( – 2;16;13)\)

Lấy điểm M1(1; -2; 5) trên dvà điểm M2(7;2;1) trên d2.

Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (6;4; – 4)\)

     \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  – 12 + 64 – 52 = 0\)

Suy ra d1 và d2 cùng nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\)

b) Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa M1 và có vecto pháp tuyến là  \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\) là:

\(– 2(x – 1)  +16(y + 2) + 13(z – 5) = 0\) hay \(2x – 16y – 13z + 31 = 0\)

Leave a Reply