Giải SBT hình học 12 chương 3 bài 2 Phương trình mặt phẳng

Bài 2. Phương trình mặt phẳng – SBT Toán lớp 12–  sách bài tập (SBT) Hình học 12

 

Bài 3.17 trang 113

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:

a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\overrightarrow n  = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến;

b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow u  = (0;1;1),\overrightarrow v  = ( – 1;0;2)\);

c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Giải

a) Phương trình  \((\alpha )\) có dạng:  (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0  hay x + y + z – 3 = 0

b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng  \((\alpha )\)   là: \(\overrightarrow u  = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow v  = ( – 1;0;2)\).

Suy ra  \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u  \wedge \overrightarrow v  = (2; – 1;1)\)

Mặt phẳng  \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n  = (2; – 1;1)\)  là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 1) – y  +z = 0  hay 2x – y + z – 2 = 0

c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {MN}  = (3;2;1)\)  và \(\overrightarrow {MP}  = (4;1;0)\)

Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {MN}  \wedge \overrightarrow {MP}  = ( – 1;4; – 5)\)

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là:  -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0

hay x – 4y + 5z – 2 = 0


Bài 3.18

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Đáp án: Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IB}  = (1;4; – 1)\) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.


Bài 3.19

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Bài giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( – 4;5; – 1)\)  và \(\overrightarrow {AC}  = (0; – 1;1)\) suy ra \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = (4;4;4)\)

Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (4;4;4)\)  hoặc \(\overrightarrow n ‘ = (1;1;1)\)

Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0

hay x + y + z – 9 =0

b) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên \((\alpha )\) cũng có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n ‘ = (1;1;1)\)

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0  hay x + y + z – 10 = 0.


Bài 3.20

Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.

Lời giải: Mặt phẳng \((\alpha )\) song song với mặt phẳng \((\beta )\)  : x  + y + 2z – 7 = 0

Vậy phương trình của \((\alpha )\) có dạng : x + y + 2z + D = 0

\((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là  x + y + 2z = 0.


Bài 3.21 trang 113 SBT Toán 12

Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .

Bài làm:

Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\):

x + 2y – z = 0.

Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là  \(\overrightarrow {AB}  = (2;2;1)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (1;2; – 1)\)

Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( – 4;3;2)\)

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: -4(x) + 3(y – 1) + 2z = 0   hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0


Bài 3.22

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0

\((\beta )\):  2x + By + 6z + 7 = 0

Hướng dẫn làm bài:

\((\alpha )//(\beta ) \Leftrightarrow {A \over 2} = {{ – 1} \over B} = {3 \over 6} \ne {2 \over 7} \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{A = 1} \cr {B = – 2} \cr} } \right.\)


Bài 3.23 trang 114 SBT Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0

b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0

c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0

Giải

a) \(d(M,(\alpha )) = {{|1 + 4 + 1|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {6 \over 3} = 2\)

b) \(d(M,(\beta )) = {{|3 + 25|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = {{28} \over 5}\)

c) \(d(M,(\gamma )) = {{|5|} \over {\sqrt 1 }} = 5\)


Bài 3.24

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

           \((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0

            \((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0

Giải

Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\)

\( \Leftrightarrow d(M,(\alpha )) = d(M,(\beta )) \Leftrightarrow {{|3x – y + 4z + 2|} \over {\sqrt {9 + 1 + 16} }} = {{|3x – y + 4z + 8|} \over {\sqrt {9 + 1 + 16} }}\)

\(\Leftrightarrow 3x – y + 4z + 5 = 0\)


Bài 3.25 trang 114

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Bài giải: Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0)  , B(1;0; 0)   , D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1)  , D’(0; 1; 1)  , C’ (1; 1; 1)

a) Phương trình của hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) là :

x + y – z = 0  và x + y – z – 1 = 0

Ta có: \({1 \over 1} = {1 \over 1} = {{ – 1} \over { – 1}} \ne {0 \over { – 1}}\)  . Vậy  (AB’D’) // (BC’D)

b)  \(d((AB’D’),(BC’D)) = d(A,(BC’D)) = {1 \over {\sqrt 3 }}\)


Bài 3.26 SBT Toán hình 12

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

\((\beta )\): 3x – 2y + 2z + 7 = 0

\((\gamma )\): 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với hai mặt phẳng \((\beta )\) và \((\gamma )\), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3; – 2;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\gamma }}  = (5; – 4;3)\).

Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_\beta }}  \wedge \overrightarrow {{n_\gamma }}  = (2;1; – 2)\)

Mặt khác \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) . Vậy phương trình của \((\alpha )\) là:  2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0  hay 2x + y – 2z – 15 = 0.


Bài 3.27

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua  các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Trả lời: Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm B, C, D nên \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là:  \({x \over 2} + {y \over 3} + {z \over 4} = 1\)  hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0


Bài 3.28

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) \(({\alpha _1}):3x – 2y – 3z + 5 = 0,\)

\((\alpha {‘_1}):9x – 6y – 9z – 5 = 0\)

b) \(({\alpha _2}):x – 2y + z + 3 = 0,\)

\((\alpha {‘_2}):x – 2y – z + 3 = 0\)

c) \(({\alpha _3}):x – y + 2z – 4 = 0,\)

\((\alpha {‘_3}):10x – 10y + 20z – 40 = 0\)

Đáp án

a) \(({\alpha _1})//({\alpha _1}’)\)

b) \(({\alpha _2})\) cắt \(({\alpha _2}’)\)

c) \(({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}’)\)


Bài 3.29

Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)  : 2x – y + 3z + 4 = 0

Bài làm: Mặt phẳng \((\beta )\) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\):

2x – y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\beta )\) là:  \(\overrightarrow j  = (0;1;0)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; – 1;3)\)

Suy ra \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow j  \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }}  = (3;0; – 2)\)

Mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3;0; – 2)\)

Vậy phương trình của \((\beta )\) là:  3(x – 2) – 2(z – 2) = 0  hay 3x – 2z – 2 = 0


Bài 3.30 trang 114 SBT Hình học 12

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi giao điểm của \((\alpha )\)  với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\)  có phương trình theo đoạn chắn là: \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\)            (1)

Do \((\alpha )\)   đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \({1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  \(1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow  1 \ge {{27.6} \over {abc}}\)

\(\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow  {1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:

\({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\)  hay  6x + 3y + 2z – 18 = 0

Leave a Reply