Đề kiểm tra SBT hình học 12 chương 2 MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU

ĐỀ KIỂM TRA – CHƯƠNG II – SBT Toán lớp 12 – Đề 1, 2, 3 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 12.

 

Đề 1

Câu 1 (4 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình nón (H) có chiều cao bằng h, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600.

a) Tính thể tích khối nón (H)

b) Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình nón (H).

Hướng dẫn làm bài

Đề kiểm tra SBT hình học 12 chương 2 MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU

a) Gọi S là đỉnh của hình nón (H), (H’) là hình cầu nội tiếp (H). Mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nón (H) cắt (H) theo tam giác cân SAB và cắt hình cầu (H’) theo đường tròn tâm O nội tiếp  tam giác SAB. Vì  \(\widehat {SAB} = {60^0}\)  nên tam giác SAB là tam giác đều. Từ đó suy ra bán kính đường tròn đáy của hình nón (H) bằng:

\(IA = SI.\cot {60^0} = h{{\sqrt 3 } \over 3};{V_{(H)}} = {1 \over 3}\pi {{{h^2}} \over 3}h = {{\pi {h^3}} \over 9}\)

b) Bán kính hình cầu (H’) bằng: \(OI = IA\tan {30^0} = {{h\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 3} = {h \over 3}\)

Suy ra: \({V_{(H’)}} = {4 \over 3}\pi {({h \over 3})^3} = {4 \over {81}}\pi {h^3}\)

Câu 2 (6 điểm)

Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot BC,DA \bot (ABC)\). Gọi M và N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ  A đến DB và DC. Biết AB = AD = 4a , BC  = 3a.

a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, M, N cùng nằm trên một mặt cầu (S). Tính thể tích mặt cầu đó.

b) Gọi (S’) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ADMN. Chứng minh rằng (S) và (S’) giao nhau theo một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó.

Đề kiểm tra SBT hình học 12 chương 2 MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU

a) Ta có: \(\left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot AD} \cr} } \right. \Rightarrow BC \bot (ABD)\Rightarrow BC \bot AM\)

\(\left\{ {\matrix{{AM \bot BC} \cr {AM \bot BD} \cr} } \right.\Rightarrow  AM \bot (BCD) \Rightarrow AM \bot MC\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {AMC} = \widehat {ANC} = {90^0}\)  \Rightarrow A, C, B, M, N nằm trên mặt cầu (S) đường kính \(AC = \sqrt {{{(4a)}^2} + {{(3a)}^2}}  = 5a\)

b) \(\widehat {AMD} = \widehat {AND} = {90^0}\)  => \Rightarrow A, D, M, N nằm trên mặt cầu (S’) đường kính AD.

(S) và(S’) có ba điểm chung là A, M, N.

Ta có: \(\left\{ {\matrix{{AM \bot BC} \cr {AM \bot MC} \cr} \Rightarrow  AM \bot (BMC) \Rightarrow AM \bot MN} \right.\)

Từ đó suy ra \((S) \cap (S’)\)  theo đường tròn đường kính AN với :

\(AN = {{AD.AC} \over {\sqrt {A{D^2} + A{C^2}} }} = {{4a.5a} \over {\sqrt {16{a^2} + 25{a^2}} }} = {{20a} \over {\sqrt {41} }}\)

Do đó bán kính đường tròn \((S) \cap (S’)\) bằng \({{10\sqrt {41} } \over {41}}a\).


Đề 2

Câu 1 (6 điểm)

Cho hình trụ (H) có đáy là hai đường tròn tâm O và O’ , bán kính đáy R = OO’. Trên đáy tâm O lấy điểm A, trên đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2R. Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABOO’ và khối trụ (H).

Đề kiểm tra SBT hình học 12 chương 2 MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU

Gọi AA’, BB’ lần lượt là những đường sinh qua A, B của (H). Khi đó, tam giác ABB’ vuông tại B’. Suy ra: \(AB’ = \sqrt {A{B^2} – B'{B^2}}  = R\sqrt 3 \) . Gọi I là trung điểm của AB’.

Khi đó \(OI \bot AB’\)

Do đó \(OI = \sqrt {OB{‘^2} – IB{‘^2}}  = {R \over 2}\)

\( =  > {S_{OAB’}} = {1 \over 2}R\sqrt 3 {R \over 2} = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\)

Suy ra: \({V_{ABOO’}} = {V_{B.AOO’}} = {V_{B.{\rm{AA}}’O’}} = {V_{A.A’BO’}} = {1 \over 3}{V_{OAB’.O’A’B}}\)

\(= {1 \over 3}{{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}R = {{\sqrt 3 {R^3}} \over {12}}\);

\({V_{(H)}} = \pi {R^3}\)

Vậy \({{{V_{ABOO’}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{\sqrt 3 } \over {12\pi }}\)

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x, y, z. Tính thể tích hình cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó.

b) Trong số những hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu (S) cho trước hình hộp nào có thể tích lớn nhất.

Hướng dẫn làm bài

a) Hình cầu đó có tâm là giao của các đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên bán kính của (S) là \({1 \over 2}\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \) . Thế tích \({V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({x^2} + {y^2} + {z^2})^{{3 \over 2}}}\)

b) Thể tích của hình hộp bằng  V = xyz. Gọi R là bán kính hình cầu (S). Ta có: \(\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}}  \le {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over 3} = {{4{R^2}} \over 3}\)

 Suy ra V lớn nhất <=>  V2 = x2 yz2  lớn nhất

<=> x2 = y2 = z2            <=>  x = y = z

Do đó trong số những hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu (S) cho trước, hình lập phương là hình có thể tích lớn nhất.


Đề 3

Câu 1 (5 điểm)

Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a , AC = 4a , BC = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.

Đề kiểm tra SBT hình học 12 chương 2 MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU

Tam giác ABC có AB2 = AC2 + BC2 nên nó vuông tại C. Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo đường tròn đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó  OI = 2a.

Suy ra \(OB = \sqrt {{{({{5a} \over 2})}^2} + 4{a^2}}  = {{\sqrt {41} } \over 2}a\)

Vậy \({V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt {41} } \over 2})^3} = {{41\sqrt {41} } \over 6}\pi {a^3}\)

Câu 2 (5 điểm) 

Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O) , CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng \(\alpha (0 < \alpha  \le {90^0})\). Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định \(\alpha \) để tỉ số đó là lớn nhất.

Đề kiểm tra SBT hình học 12 chương 2 MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU

Thể tích khối trụ (H) là \({V_{(H)}} = \pi {R^2}h\) , thể tích khối tứ diện ABCD là:

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.\sin \alpha .h = {2 \over 3}{R^2}h\sin \alpha \)

Suy ra: \({{{V_{ABCD}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{2\sin \alpha } \over {3\pi }} \le {2 \over {3\pi }}\)

Tỉ số đó là lớn nhất bằng  \({2 \over {3\pi }}\) khi \(\alpha  = {90^0}\)

Leave a Reply