Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\) , cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z – 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Đường thẳng \(d’\) đối xứng với \(d\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:
-
A.
\(\dfrac{{x – 1}}{1} = \dfrac{{y – 1}}{2} = \dfrac{{z – 1}}{7}\) -
B.
\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ – 2}} = \dfrac{{z + 1}}{7}\) -
C.
\(\dfrac{{x – 1}}{1} = \dfrac{{y – 1}}{{ – 2}} = \dfrac{{z – 1}}{7}\) -
D.
\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{7}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Gọi \(I = d \cap \left( P \right) \Rightarrow I\left( {t;2t – 1; – t + 2} \right)\)
\(I \in \left( P \right) \Rightarrow t + 2t – 1 – t + 2 – 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {1;1;1} \right)\)
Lấy \(A\left( {0; – 1;2} \right) \in \left( d \right)\). Gọi \(A’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right)\) .
Gọi \(\left( \Delta \right)\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow \left( \Delta \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Gọi \(H = \left( \Delta \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow H\left( {t; – 1 + t;2 + t} \right) \in \left( P \right)\)
\( \Rightarrow t – 1 + t + 2 + t – 3 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{3}; – \dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right)\).
Do A’ đối xứng A qua (P) nên \(H\) là trung điểm của \(AA’ \Rightarrow A’\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right)\).
\(d’\) đối xứng \(d\) qua \(\left( P \right) \Rightarrow d’\) đi qua \(I,\,\,A’\).
Ta có : \(\overrightarrow {IA’} = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{{ – 2}}{3};\dfrac{7}{3}} \right)//\left( {1; – 2;7} \right)\) là 1 VTCP của \(d’\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d’\) : \(\dfrac{{x – 1}}{1} = \dfrac{{y – 1}}{{ – 2}} = \dfrac{{z – 1}}{7}\).
Chọn C.
Trả lời