Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} – \left( {{m^2} – 3m + 2} \right)x + 5\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x – {m^2} + 3m – 2\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow f’\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x – {m^2} + 3m – 2 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} – 3m + 2 \le 3{x^2} + 6x = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow {m^2} – 3m + 2 \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 6x\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) ta có:

\(g’\left( x \right) = 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  – 1 \Rightarrow g’\left( x \right) > 0\,\,\forall x >  – 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {m^2} – 3m + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2\).

Chọn C.