Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng
-
A.
\(\dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\) -
B.
\(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{13}}\) -
C.
\(\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\) -
D.
\(\dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
.JPG)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AB//MN\) suy ra \(d\left( {AB,SM} \right) = d\left( {AB,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\)
Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) lên \(MN\) \( \Rightarrow ME \bot AE\), mà \(ME \bot SA\) \( \Rightarrow NE \bot \left( {SAE} \right)\).
Gọi \(F\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SE\) \( \Rightarrow AF \bot SE\).
Mà \(EN \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow NE \bot AF\).
Do đó \(AF \bot \left( {SEN} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SEN} \right)} \right) = AF\).
Tam giác \(SAE\) vuông tại \(A\) có \(\dfrac{1}{{A{F^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{12{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{{13}}{{12{a^2}}} \Rightarrow A{F^2} = \dfrac{{12{a^2}}}{{13}} \Leftrightarrow AF = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)
Vậy \(d\left( {AB,SM} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Chọn A.
Trả lời