Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + {m^2} + 2m}}{{x – 2}}\) trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A + B = \dfrac{{19}}{2}\).

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có \(y’ = \dfrac{{ – 2.1 – 1.\left( {{m^2} + 2m} \right)}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ – {m^2} – 2m – 2}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ – {{\left( {m + 1} \right)}^2} – 1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow y’ < 0\,\,\forall x \in \left[ {3;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left[ {3;4} \right]\).

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \dfrac{{{m^2} + 2m + 4}}{2};\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = y\left( 3 \right) = {m^2} + 2m + 3\\ \Rightarrow A = \dfrac{{{m^2} + 2m + 4}}{2};\,\,B = {m^2} + 2m + 3\end{array}\)

Theo bài ra ta có \(A + B = \dfrac{{19}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} + 2m + 4}}{2} + {m^2} + 2m + 3 = \dfrac{{19}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} + 2m + 4 + 2{m^2} + 4m + 6}}{2} = \dfrac{{19}}{2} \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  – 3\end{array} \right.\).

Chọn A.