Cho tích phân \(\int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx = \frac{b}{c} + a\ln 2} \) với \(a\) là số thực, \(b\) và \(c\) là các số nguyên dương, đồng thời \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + c\)

\(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v =  – \frac{1}{x}\end{array} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}I = \left. {\left( {\ln x.\frac{{ – 1}}{x}} \right)} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  =  – \frac{1}{2}\ln 2 – \left. {\frac{1}{x}} \right|_1^2 =  – \frac{1}{2}\ln 2 – \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\ln 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = 2\\a = \frac{{ – 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P = 2a + 3b + c =  – 1 + 3 + 2 = 4.\end{array}\)

Chọn D.