Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, biết \(SA = SB\), \(SC = SD\), \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SCD} \right)\). Tổng diện tích hai tam giác SAB, SCD bằng \(\dfrac{{7{a^2}}}{{10}}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

\(\Delta SAB\) và \(\Delta SCD\) cân tại S\( \Rightarrow SI \bot AB,\,\,\,SJ \bot CD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SJ\\CD \bot IJ\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SIJ} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SIJ} \right)\)

Tương tự : \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SIJ} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;SJ} \right)} = \widehat {ISJ} = {90^0}\)

Kẻ \(SH \bot IJ\). Mà \(SH \subset \left( {SIJ} \right) \Rightarrow SH \bot CD \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \({S_{\Delta SAB}} + {S_{\Delta SCD}} = \dfrac{1}{2}.SI.AB + \dfrac{1}{2}.SJ.CD\)\( = \dfrac{1}{2}.SI.a + \dfrac{1}{2}.SJ.a = \dfrac{1}{2}.\left( {SI + SJ} \right).a = \dfrac{{7{a^2}}}{{10}}\)

\( \Rightarrow SI + SJ = \dfrac{{7a}}{5}\) (1)

\(\Delta SIJ\) vuông tại S \( \Rightarrow S{I^2} + S{J^2} = I{J^2} \Rightarrow {\left( {SI + SJ} \right)^2} – 2.SI.SJ = {a^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{7a}}{5}} \right)^2} – 2.SI.SJ = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow SI.SJ = \dfrac{{12{a^2}}}{{25}}\)

Ta có: \(SI.SJ = SH.IJ \Leftrightarrow \dfrac{{12{a^2}}}{{25}} = SH.a \Leftrightarrow SH = \dfrac{{12a}}{{25}}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{12a}}{{25}}.{a^2} = \dfrac{{4{a^3}}}{{25}}\).

Chọn: B