Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) . Gọi \(M,{\rm N}\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\) . Biết \(\left( {AM{\rm N}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) . Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\). Do \(\Delta SBC\) cân tại \(S \Rightarrow SD \bot BC\).

\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBC \Rightarrow MN//BC \Rightarrow MN \bot SD\) và \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}\).

Gọi \(H = MN \cap SD \Rightarrow SH \bot MN\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \bot \left( {SCD} \right)\\\left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\\left( {SCD} \right) \supset SH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {AMN} \right)\).

Tương tự ta chứng minh được \(AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AH \bot SD\) tại \(H\) là trung điểm của \(SD\).

\( \Rightarrow \Delta SAD\) cân tại \(A \Rightarrow SA = AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SB = SC\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SBD\) có \(SD = \sqrt {S{B^2} – B{D^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow SH = \frac{1}{2}SD = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAH\) ta có \(AH = \sqrt {S{A^2} – S{H^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}AH.MN = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}} = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{96}}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 4{V_{S.AMN}} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}}\).

Chọn B.