Cho biết hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là \(a\sqrt 3 .\) Thể tích V của khối chóp đó là bao nhiêu?

Gọi hình chóp đã cho là \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng x khi đó các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều bằng nhau.

M là trung điểm BC thì SM là đường cao của mặt bên SBC nên \(SM = a\sqrt 3 \). Tam giác SBC đều cạnh x và đường cao \(SM = a\sqrt 3 \) nên\(\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3  \Leftrightarrow x = 2a.\)  Vậy \({S_{ABCD}} = 4{a^2}.\)

\(SO = \sqrt {S{M^2} – M{O^2}}  = \sqrt {S{M^2} – {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} – {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}{a^3}.\)