Xác định tham số thực m để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y+8-m=0\) có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\log _{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}^{{}}\left( 2x+2y+4 \right)\ge 1\).

\(\log _{{x^2} + {y^2} + 2}^{}\left( {2x + 2y + 4} \right) \ge 1\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x + 2y + 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le 4\left( 1 \right)\)

Tập hợp các điểm \(\left( x;y \right)\) thỏa (1) là hình tròn tâm \({{I}_{1}}\left( 1;1 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=2.\)

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y+8-m=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=m\left( 2 \right)\Rightarrow m>0\)

Tập hợp các điểm \(\left( x;y \right)\) thỏa (2) là đường tròn tâm I₂( 2;-2) bán kính R₂ = \(\sqrt m\)

Để PT có nghiệm duy nhất thỏa mãn BPT  thì \({{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow \sqrt{10}=\sqrt{m}+2\Leftrightarrow m={{\left( \sqrt{10}-2 \right)}^{2}}.\)