Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y-z-3=0\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2},{{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}.\) Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right),\) đồng thời cắt cả \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình là

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm

Gọi \(A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+2t;t;-1-2t \right)\)

Gọi \(B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+t’;2t’;-1-t’ \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t’-2t+1;2t’-t;-t’+2t \right).\)

Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;2;-1 \right)\) là 2 vectơ cùng phương.

\(\Rightarrow \frac{t’-2t+1}{2}=\frac{2t’-t}{2}=\frac{-t’+2t}{-1}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

& t’-2t+1=2t’-t \\

& t’-2t+1=2t’-4t \\

\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

& t’+t=1 \\

& t’-2t=1 \\

\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

& t’=1 \\

& t=0 \\

\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow A\left( 1;0;-1 \right),B\left( 3;2;-2 \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2;2;-1 \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+2}{-1}.\)