Số các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x-{{m}^{2}}-1}{x-m}\) có giá trị lớn nhất trên [0;4] bằng \(-6\) là:

TXÐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.\)

Ta có: \(y’=\frac{-m+{{m}^{2}}+1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0\text{ }\forall x\ne m.\)

Để hàm số có GTLN trên [0;4] bằng -6 thì điều kiện cần là hàm số phải xác định trên [0; 4]

\( \Rightarrow m \notin \left[ {0;4} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m 4
\end{array} \right..\)

Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên [0;4], do đó \(\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 4 \right)=\frac{3-{{m}^{2}}}{4-m}=-6.\)

\( \Leftrightarrow 3 – {m^2} = – 24 + 6m \Leftrightarrow {m^2} + 6m – 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3{\rm{ }}\left( {KTM} \right)\\
m = – 9{\rm{ }}\left( {TM} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy có duy nhất 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m=-9.\)