Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2\) đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right).\) Số phần tử của S bằng:

Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)+2\)

\(\Rightarrow y’=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\)

\(\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5=0\left( * \right)\)

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) 

\(\Leftrightarrow y’\ge 0\text{ }\forall x\Leftrightarrow \Delta ‘\le 0\)

\(\Leftrightarrow 9{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3\left( 12m+5 \right)\le 0\)

\(\Leftrightarrow 9\left( 4{{m}^{2}}+4m+1 \right)-36m-15\le 0\)

\(\Leftrightarrow 36{{m}^{2}}-36\le 0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \frac{\sqrt{6}}{6}\)

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 2;+\infty  \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(2\le {{x}_{1}}

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ‘ > 0\\
\left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \ge 0\\
{x_1} + {x_2} > 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
36{m^2} – 6 > 0\\
{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4 \ge 0\\
{x_1} + {x_2} > 4
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} > \frac{1}{6}\\
\frac{{12m + 5}}{3} – 2.\frac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} + 4 \ge 0\\
\frac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} > 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\
m 4
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\
m \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\
m \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2}

Kết hợp hai trường hợp ta được: \(\left[ \begin{array}{l}
– \frac{{\sqrt 6 }}{6} \le m \le \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\
\frac{1}{2}

Lại có: \(m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\Rightarrow m=1.\)

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán.