Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{2}\) và \(\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2 \right)\) là số thuần ảo?

Đặt \(\text{w}=\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2 \right)\)

\(=z.\overline{z}-2z+2i\overline{z}-4i\)

\(={{\left| z \right|}^{2}}-2z+2i\overline{z}-4i\)

\(=2-2z+2i\overline{z}-4i\)

Đặt \(z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi,\) khi đó ta có:

\(\text{w}=2-2z+2i\overline{z}-4i\)

\(=2-2\left( x+yi \right)+2i\left( x-yi \right)-4i\)

\(=2-2x-2yi+2xi+2y-4i\)

\(=\left( 2-2x+2y \right)+\left( 2x-2y-4 \right)i\)

Vì \(\text{w}\] là số thuần ảo nên \(2-2x+2y=0\Leftrightarrow x=y+1.\)

Lại có \(\left| z \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow {{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+2y-3=0\Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{7}}{2}.\)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.