Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng \(\left( AB’C’ \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)một góc 60o. Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) bằng

Gọi \(H,H’\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B’C’.\)

Do lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \({{S}_{\Delta A’B’C’}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Ta có: \(\left( \left( AB’C’ \right),\left( ABC \right) \right)=\left( AH,AH’ \right)=\angle H’AH={{60}^{0}}.\)

Xét tam giác \(H’HA\) vuông tại \(H\) có \(\tan {{60}^{0}}=\frac{H’H}{AH}\Leftrightarrow H’H=AH.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{2}a\)

Mà \(A’A=H’H\) nên \(A’A=\frac{3}{2}a.\)

Vậy \({{V}_{ABC.A’B’C’}}=A’A.{{S}_{\Delta A’B’C’}}=\frac{3}{2}a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}.\)