Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng 60°. Biết diện tích tam giác A’BC bằng \(2{{a}^{3}}.\) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Trong \(\left( ABC \right)\) kẻ \(AM\bot BC\left( M\in BC \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot AA’
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA’M} \right) \Rightarrow A’M \bot BC.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {A’BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\
A’M \subset \left( {A;BC} \right);A’M \bot BC\\
AM \subset \left( {ABC} \right);AM \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {A’BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A’M;AM} \right) = \angle A’MA = {60^0}.\)

Ta có \({{S}_{A’BC}}=\frac{1}{2}A’M.BC=2{{a}^{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}A’M.2a=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow A’M=2a.\)

Xét tam giác vuông AA’M ta có: \(AA’=A’M.\sin {{60}^{0}}=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.\)

Vì \(\Delta ABC\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A’BC\) nên ta có: \({{S}_{ABC}}={{S}_{A’BC}}.\cos \angle A’MA=2{{a}^{2}}.\frac{1}{2}={{a}^{2}}.\)

Vậy \({{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.\)