Câu hỏi:
Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({R^2}\sqrt 2 \). Thể tích hình nón đã cho bằng
-
A.
\(\frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{{12}}\) -
B.
\(\frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{2}\) -
C.
\(\frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\) -
D.
\(\frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{3}\)
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT năm 2021 môn Toán lớp 12
Đáp án đúng: C
Gọi H là trung điểm của đoạn AB
Nhận thấy:
+) Tam giác OAB vuông cân tại O.
+) \(OH \bot AB,SH \bot AB\) nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (OAB) bằng \(\varphi = \widehat {SHO}\).
Ta có: \({S_{\Delta OAB}} = {S_{\Delta SAB}}.\cos \varphi \Rightarrow \frac{1}{2}{R^2} = {R^2}\sqrt 2 .\cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)
Mà \(\cos \varphi = \frac{{OH}}{{SH}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{{\frac{{R\sqrt 2 }}{2}}}{{SH}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow SH = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.2\sqrt 2 = 2R.\)
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{H^2} – O{H^2}} = \sqrt {4{R^2} – {{\left( {\frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}\)
Vậy thể tích của khối nón bằng \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {R^2}.\frac{{R\sqrt {14} }}{2} = \frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}.\)