Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\) và mặt bên tạo với đáy một góc 45°. Thể tích \(V\) của khối chóp S.ABCD là:

Gọi \(O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\) và M là trung điểm của CD. 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\
SM \subset \left( {SCD} \right);SM \bot CD\\
OM \subset \left( {ABCD} \right);OM \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO = {45^0}.\)

\(\Rightarrow \Delta SOM\) là tam giác vuông cân tại O. 

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OM=\frac{a}{2}\Rightarrow SO=OM=\frac{a}{2}.\)

Vậy thể tích khối chóp là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.\)