Cho hai số thực \(x,y\) thỏa mãn \(2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right).\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x+2y.\)

Điều kiện: \(x\le 1.\)

Ta có: \(2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)\)

\(\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+y-1=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x}\text{ }\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t,\) ta có: \(f’\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0\text{ }\forall \text{t}\in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến.

\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {y – 1} \right) = f\left( {\sqrt {1 – x} } \right) \Leftrightarrow y – 1 = \sqrt {1 – x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge 1\\
x = 1 – {\left( {y – 1} \right)^2}
\end{array} \right.\)

Khi đó \(P=x+2y=1-{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2y=4-{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 4.\)

Vậy \({P_{\max }} = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 2
\end{array} \right..\)