Câu hỏi:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 – x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x – {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\)
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – m} \right|\) không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
-
A.
2047 -
B.
16383 -
C.
16384 -
D.
32
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT năm 2021 môn Toán lớp 12
Đáp án đúng: B
ĐK: – 1
\(\begin{array}{l}
{\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 – x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x – {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\\
\Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) – 2{\log _3}\left( {5 + 4x – {x^2}} \right) = {\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) – {\log _2}\left( {5 + 4x – {x^2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{{\log }_3}4 – 1} \right).{\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) = \left( {{{\log }_3}4 – 1} \right).{\log _2}\left( {5 + 4x – {x^2}} \right)
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {y^2} + 8y + 16 = 5 + 4x – {x^2}\) (vì hàm \(f\left( t \right) = \left( {{{\log }_3}4 – 1} \right).{\log _2}t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)).
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} + 11} \right)^2} = {\left( {4x – 8y} \right)^2} \le 80\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\
\Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} – 58\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 \le 0\\
\Rightarrow 29 – 12\sqrt 5 \le {x^2} + {y^2} \le 29 + 12\sqrt 5 \\
\Rightarrow \sqrt {29 – 12\sqrt 5 } \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le \sqrt {29 + 12\sqrt 5 }
\end{array}\).
Đặt \(a = \sqrt {29 – 12\sqrt 5 } ,b = \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \) , ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P = \max \left\{ {\left| {a – m} \right|,\left| {b – m} \right|} \right\}\).
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P \le 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {a – m} \right| \le 10\\
\left| {b – m} \right| \le 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a – 10 \le m \le a + 10\\
b – 10 \le m \le b + 10
\end{array} \right. \Rightarrow b – 10 \le m \le a + 10\).
Vì \(m \in Z\) nên \(S = \left\{ { – 2; – 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).
Vậy số tập con không phải là tập rỗng của tập S là \({2^{14}} – 1 = 16383\).