Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} – 3m{x^2} + 6mx + m\) có hai điểm cực trị.
-
A.
\(m \in \left( {0;8} \right)\) -
B.
\(m \in \left( {0;2} \right)\) -
C.
\(m \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\) -
D.
\(m \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = {x^3} – 3m{x^2} + 6mx + m\\ \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 6mx + 6m\end{array}\)
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó, \(\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow {\left( { – 3m} \right)^2} – 3.6m > 0\) \( \Leftrightarrow 9{m^2} – 18m > 0\) \( \Leftrightarrow 9m\left( {m – 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\)
Vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị là \(m \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Chọn D
Trả lời