Câu hỏi:
Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M sao cho giá trị của biểu thức \(P=M A^{2}+M B^{2}+M C^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
M là trọng tâm tam giác ABC -
B.
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . -
C.
M là trực tâm tam giác ABC . -
D.
M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử GIỮA HỌC KỲ 2 năm 2021 môn Toán lớp 11
Đáp án đúng: A
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC\(\Rightarrow\)cố định và GA \(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}\) .
\(\begin{array}{l} P=(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})^{2}+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})^{2}+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})^{2} \\ =3 M G^{2}+2 \overrightarrow{M G} \cdot(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})+G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \\ =3 M G^{2}+G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \geq G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow M \equiv G\).
Vậy \(P_{\min }=G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \text { với } M \equiv G\) là trọng tâm tam giác ABC.