Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với \(AB = 2a\sqrt 3 ;BC = 2a\). Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60o. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng
-
A.
\(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\) -
B.
\(\frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\) -
C.
\(\frac{{4a\sqrt {15} }}{5}\) -
D.
\(\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\)
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử GIỮA HỌC KỲ 2 năm 2021 môn Toán lớp 11
Đáp án đúng: C
Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SBM} = {60^ \circ }.\)
\(BM = \frac{3}{4}BD = 3a,SM = BM.\tan {60^0} = 3\sqrt 3 a\)
Xác định khoảng cách: \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}MH\)
Tính khoảng cách MH:
\(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{K^2}}} + \frac{1}{{M{S^2}}} \\= \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}.2\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 a} \right)}^2}}} = \frac{5}{{27{a^2}}} \\MH = \sqrt {\frac{{27}}{5}} a\)
Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}MH = \frac{{4\sqrt {15} }}{5}a\)