Đường thẳng \(\Delta\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + y – 3 = 0\) và \({d_2}:x – 2y + 1 = 0\) đồng thời tạo với đường thẳng \({d_3}:y – 1 = 0\) một góc 45o có phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} {d_1}:2x + y – 3 = 0\\ {d_2}:x – 2y + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \to {d_1} \cap {d_2} = A\left( {1;1} \right) \in \Delta .\)

Ta có: 

\({d_3}:y – 1 = 0 \to {\vec n_3} = \left( {0;1} \right),\) gọi \({\vec n_\Delta } = \left( {a;b} \right),\,\,\varphi = \left( {\Delta ;{d_3}} \right)\)

Khi đó

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos \varphi = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {0 + 1} }}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{b^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b \to a = b = 1 \to \Delta 😡 + y – 2 = 0\\ a = – b \to a = 1,\,b = – 1 \to \Delta 😡 – y = 0 \end{array} \right..\)