Câu hỏi:
Cho ba số thực a, b, c không âm và thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) lần lượt là:
-
A.
1 và 3 -
B.
2 và 4 -
C.
2 và 3 -
D.
3 và 4
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử GIỮA HỌC KỲ 2 năm 2021 môn Toán lớp 10
Đáp án đúng: D
Từ giả thiết suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} \le 4.\)
Ta có \(4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} .\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\).
Từ đó suy ra \(4 \le {a^2} + {b^2} + {c^{2}} + \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} \) hay \(\sqrt {\frac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 – S \Leftrightarrow 3 \le S \le 4.\)